匚高等数学 例3设z=x"(x>0,x≠1),求偏导数 解 az = vx y x·mnx. 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去 比如,设u=f(x,y,z) f(x+Ax, y, z)-f(x,y,z) x->0 △x 它的求法,就是将y,z均看作常数来求即可
例3. 设 z = x (x 0, x 1),求偏导数. y 解: , −1 = y yx x z x ln x. y z y = 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) . x f x x y z f x y z u x x + − = → ( , , ) ( , , ) lim 0 它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可
匚高等数学 例4.求=、x2+y2+2的偏导数 2x x 解: 2 2√x2+y2+z 2y y 2√/x2+y2+z2l 2z 2√x2+y2+22t
例4. . 求u = x2 + y2 + z2的偏导数 解: 2 2 2 2 2 x y z x ux + + = ux = 2 2 2 2 2 x y z y uy + + = uy = 2 2 2 2 2 x y z z uz + + = uz =
匚高等数学 、偏导数的几何意义 由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏 导数的几何意义设z=f(x,y)在点X=(x0)1 处的偏导存在,记0=f(x0,y).点Mxo,y,=z0)则
由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏 导数的几何意义. 设 z = f (x, y) 在点 X0=(x0 , y0 ) 处的偏导存在, 记 z0 = f (x0 , y0 ). 点M0 (x0 , y0 , z0 )则 二、偏导数的几何意义
匚高等数学 fx(xo,yo)就是以平面y=y与曲面z=f(x,y) 相截得到截线石1·F1上点M(xm2y0,=0)处切线 对x轴的斜率 而y(x0,y)就是以就是以平面x=x与曲面 =/(xy)相截得到截线22上点Mx0,y0,0 处切线对y轴的斜率
f 'x (x0 , y0 )就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 . 1 上点 M0 (x0 , y0 ,z0 )处切线 对 x 轴的斜率. 而 f 'y (x0 , y0 )就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 . 2 上点 M0 (x0 , y0 ,z0 ) 处切线对 y 轴的斜率
匚高等数学 事实上由于f(x,1)≈/d dx f(x, yo X=x 故只须搞清一元函数∫(x,yo)的几何意义.就可 得到fx(x02y)的几何意义 以平面y=y与曲面z=f(x,y)相截,得截线 f(x, y) 也就是z=f(x,y0)且M6(xn0y00上
( , ) , d d , ( , ) 0 0 0 0 x x x f x y x f x y = 事实上 由于 = 故只须搞清一元函数 f (x, y0 )的几何意义. 就可 得到 f 'x (x0 , y0 )的几何意义. 以平面 y = y0与曲面z = f (x, y)相截, 得截线 1 : z = f (x, y) y = y0 也就是 z = f (x, y0 ). 且 M0 (x0 , y0 ,z0 )在 1 上