第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换对函数p(t)u(t)e-βt (β>O)取傅氏变换有+8f(t)e-(β+io)[ p(t)u(t)e-βte-iot dt =dt10f(t)e-st dt,其中s = β+io, f(t)=p(t)u(t)记为f+° f(t)e-"tdt = F(s).这样，对于给定的函数，经过两次修改再取傅氏变换后，结果产生了一种新型的积分。这就引出了拉普拉斯变换结口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 6 ( ) ( ) t i t t u t e e dt + − − − 对函数(t)u(t)e − t ( 0)取傅氏变换,有 这样，对于给定的函数，经过两次修改再取傅 氏变换后，结果产生了一种新型的积分. 这就引出 了拉普拉斯变换： ( ) ( ). 0 f t e dt F s s t 记 为 = + − ( ) 0 ( ) i f t e dt + − + = 0 ( ) , st f t e dt + − = 其中s i f t t u t = + = , ( ) ( ) ( )
第7页240ctober2025第九章拉普拉氏变换中2、拉氏变换的定义定义设函数f(t)当t≥0 时有定义，而且积分ft~f(t)e-"tdt (s是一个复参量)在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数(1)F(s)= (~ f(t)e-stdt称为函数f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换),记为F(s)=L f(t)]结口C1束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 7 定义 设函数 f(t) 当 t 0 时有定义, 而且积分 ( ) ( ) 0 f t e s tdt s是一个复参量 + − ( ) ( ) (1) 0 + − F s = f t e dt s t 在 s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 称为函数 f (t) 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记 为 F (s)=L [ f (t)]. 2、拉氏变换的定义
第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换中注：(1) F (s)称为,f(t) 的拉氏变换(或称为象数).而f(t)为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为也可记为f(t)F(s)f (t)=L-1[F(s)](2)f(t)的拉氏变换,即为f(t)u(t)e-βt的傅氏变换结口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 8 注： (1) F (s)称为 f (t) 的拉氏变换(或称为象数). 而 f (t)为F (s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为 f (t)=L−1 [F(s)] 也可记为 f (t)F (s). (2) ( ) ( ) ( ) t f t f t u t e 的拉氏变换 − ,即为 的傅氏变换