第八章第节多元函数的极值及其求法多元函数的极值最值应用问题三、条件极值AOC-下页返回结乐
第八章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
最小值多元函数的极值及最大、定义：若函数 z=f(x,y)在点 P(xo,yo)的某去心邻域内有f(x,y)< f(xo,yo)(f(x,y)> f(xo,yo))则称函数在该点取得极大值(极小值)极大值和极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点可推广到n元函数
一、 多元函数的极值及最大、最小值 则称函数在该点取得极大值 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 定义: 若函数 在点 P x y 0 0 0 ( , ) 的某 去心邻域内有 (极小值). 0 0 ( ) f x y f x y ( , ) ( , ) 可推广到 n 元函数
例.z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值例z = -/x? + y2在点（0,0)有极大值；例z=xy在点(0,0)无极值
x y z 例. 在点 (0,0) 有极小值. 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. x y z x y z 例. 例.
定理1(必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在偏导数，且在该点取得极值，则有fi(xo, yo) = 0, f,(xo,yo)= 0证：因z=f(x,y)在点（xo,yo）取得极值，故z=f(x,yo)在 x=xo取得极值z=f(xo,)在y=yo取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立[f’(x,J) = 0使称为驻点的点(xo,yo),)(x,J) =0 的注：驻点不一定是极值点
称为驻点 . 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) = = 使 x 的点 ， y f x y x y f x y 注：驻点不一定是极值点
定理2(充分条件）若函数z=f(x,J)在点（xo,Jo）的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fx(xo , yo)= 0 , J,(xo , yo) = 0令 A= fxx(xo,yo), B= fxy(xo,yo), C = fyy(xo,yo)A<0 时取极大值则:1)当AC-B2>0时,具有极值A>0时取极小值2)当AC-B2<0时,没有极值3)当 AC-B2=0时,不能确定需另行讨论证明见第九节(P123)000--
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P123) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束