《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_第九章 第四节 多元复合函数的求导法则

第八章第四节多元复合函数的求导法则元复合函数y= f(u), u=@(x)dydy du求导法则dx du dx微分法则dy= f'(u)du= f'(u)p'(x)dx本节内容：多元复合函数求导的链式法则多元复合函数的全微分OOO自录-返回

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章

多元复合函数求导的链式法则定理。若函数u=β(t),v=y(t)在点t可导,z= f(u,v)在点(u,v)处有连续偏导数,则复合函数z= f((t),y (t))在点t可导，且有链式法则7dz oz du.oz ddt ou dt ?v dt证：设t取增量At，则相应中间变量z= f(u,v)有增量^u,由偏导数连续知在点(u,v）处可微，于是azOzAv +o(p) (p = /(△u)? +(△v)?Au+XZ一OvOu目录机动-下页反回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处有连续偏导数, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v ,由偏导数连续知 z = f (u,v) 处可微，于是

OzAyAzozAuo(p)(p = /(Au)? +(△v)2Ou △tAtOv △t△t令△t→0,则有u→0,△v→0dudv△uAvudtdt△t△to(p)o(p)Nu0△tNp(At< 0 时,根式前加"_"号OzOz dydzdu全导数公式，条件可改为Xdt Ou dt'ov dt可微)0000an土

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ，条件可改为 可微) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

推广：设下面所涉及的函数都可微1)中间变量多于两个的情形.例如，z= f(u,V,w)u=p(t), v= y(t), w=o(t)Oz dyvdzOz du.Oz dwOw dtdt Ou dtOydt= f'o'+ fy'+ f'o'2)中间变量是多元函数的情形.例如z=f(u,v), u=p(x,y), v=y(x,y)ozOz OuazOvfioi + f2yiOxOvaxOu OxazOvazazQu= fi'2 + f2V2Ovayayaydu目泰动结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u =  (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   1 2 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u =  (t), v = (t), w = (t)

又如, z= f(x,v), v=(x,y)Z当它们都具有可微条件时，有OzafOvaf4='+f2Vi+axOxovaxXOzafavWaayOvOzaf这里不同注意：S0xOxOzaf表示固定对x求导表示固定y对x求导axOx口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导0000福-F

又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束