第之节 第八章 多无面数微分学的儿何应用 空间曲线的切线与法平面 二、 曲面的切平面与法线
第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章
复习：平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y=f(x)在点(xo,yo)有 切线方程y-y0=f'(xox-x0) 法线方程y-y0=- f(xo) x-o) 若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0,因 dyE(x,y) dx Fy(x,y) 故在点(x0,y0)有 切线方程F(xo,0)(x-xo)+F,(x0,%Xy-0)=0 法线方程F(x0,%x-x0)-F,(xo,o)(y-%)=0 -m 下页返回
复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ( , ) 0 0 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − 故在点 切线方程 法线方程 ( ) 0 ( , )( ) + Fy (x0 , y0 ) y − y 0 0 0 F x y x x x − = 0 ( )( ) 0 0 = f x x − x ( ) ( ) 1 0 0 x x f x − = − 在点 有 有 因 ( , )( ) 0 Fy (x0 , y0 )(x − x0 )− Fx x0 y0 y − y0 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面
一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. T M 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面
1.曲线方程为参数方程的情况 T:x=p(),y=Ψ(t),2=0() 设t=t对应M(x0,y0,20) t=t0+△t对应M'(x,+△x,y0+Ay,0+△) 割线MM'的方程： x-0=y-y0=2-z0 △x △y △z 上述方程之分母同除以△1，令△t→0，得 切线方程 x-x0=y-0=2-0 o'(o)w'(o) o'(t） 下页返回结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( , , ) 0 0 0 0 设 t = t 对应M x y z ( , , ) 0 0 0 0 t = t + t 对应 M x + x y + y z + z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t 机动 目录 上页 下页 返回 结束T M 割线 MM 的方程 :
此处要求0'(to),w'(to),0'(to不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0. 切线的方向向量： T=(o'(t),'(o),0'(o》 称为曲线的切向量 T也是法平面的法向量，因此得法平面方程 p(o)(x-x)+V'(0)(y-yot0'(0)(z-20)=0 说明：若引进向量函数r()=(o(),y(t),o(t),则T 为r(①的矢端曲线，而在t处的导向量 r(to)=(p'(to),w'(4o),0'(o)》 就是该点的切向量
( )( ) 0 0 t x − x 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . ( )( ) 0 0 + t y − y ( )( ) 0 + t0 z − z0 = 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 不全为0, ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T = t t t 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 r(t) = ((t), (t), (t)) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0 而在 t 处的导向量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = t t t 就是该点的切向量. o r(t) T