第1章 §1.6极限存在准则 两个重要极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.6 极限存在准则 两个重要极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第 1 章
极限存在准则 1夹逼准则 准则1如果数列xn,yn及乙n满足下列条件 (1) ysx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn=a, limin=a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且imxn,=a n→0 证∵Vn→a,zn→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得
0, N1 0, N2 0, 使得 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 一、极限存在准则 1.夹逼准则 y a, z a, 证 n → n →
当n>N时恒有yn-a<8, 当n>N2时恒有zn-a<8, 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, Bp a-8<y <a+E, a-c<zn <a+8, 当n>N时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E 即xn-a<E成立, Imy.=。 n→ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn+1≥…,单调减少 准则|1单调有界数列必有极限 几何解释: xI 2 xt M n~n+1
x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M 单调数列
二.两个重要极限 BD sIn x lim x→>0 O A 证:当x∈(0,)时 2 △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 5 sinx<lx<itan x 亦即 sin x<x< tan x(0<x<2) 故有 1< sInx COSx 显然有 COS x< smx<1(0<x|<2) X ∵ lim cos x=1, x→>0 x>0x
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二. 两个重要极限 0 sin (1) lim 1 x x → x = 证: 当 即 sin x 2 1 x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 x limcos 1, 0 = → x x 1 sin lim 0 = → x x x 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o x x x cos 1 sin 故有 1