第1章 §1.7无穷小的比较 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.7 无穷小的比较 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
引例.x→0时,3x,x2,sinx都是无穷小,但 Im lim sinx I 0 lim sinx x→>03x x-)03X3x-0 3= 可见同样是无穷小,但它们趋于0的速度有所不同 定义4设a,B是自变量同一变化过程中的无穷小, 若im=0则称是比a高阶的无穷小,记作 C B=o(a) 若im2=C≠0,则称是a的同阶无穷小 若lim=1,则称B是a的等价无穷小记作a~B C 或B~a
x → 0时, 3x, x ,sin x 引例 . 2 都是无穷小, x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见同样是无穷小，但它们趋于 0 的速度有所不同 . 定义4 lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
例如,当x→>0时 x=o( 6x), sinx w x, tan x wx arcsin XwX 又如, 1-cos x 2sin lim l =lim x->0x x>04()22 故x→>0时,1-cosx和x2的同阶无穷小,且 -COS 2 2 X
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 x → 0 时, 1− cos x 和 x２ 的同阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且
定理2设a~,B~B且mm阝在在,则 lim =lim B C C 证im=imBB C βββ lim lim/ lim -= lim B C C 由定理7,对于自变量的同一变化过程,a,B为 无穷小,由等价无穷小的性质,可简化某些极限的运 算
定理2 设 ~ , ~ , 且 存在 , 则 lim = lim 证 lim = lim = lim lim lim = lim 由定理７，对于自变量的同一变化过程 , , 为 无穷小，由等价无穷小的性质, 可简化某些极限的运 算
例1求lim tan 2x x→>0Sin5x 2x2 解原式=lim x→>05x5 例2求lim tanx-sinx x→>0 xX 解原式=1im tan x (1-COsx)(原式关mx=x 1>0 31 x→>0 2 X.x = lim x->0x 2
例1 求 x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x → x − = 原式 3 0 tan (1 cos ) lim x x x x − = → 2 1 = 3 2 2 1 0 lim x x x x = → 例2 求 解 原式 解 原式