第1章 §1.3函数的极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.3 函数的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
函数极限的定义 对于y=f(x),自变量的变化过程有六种形式 (1)x->∞(2)x->+∞ (3)x→)-0(4)x→x0 (5)x→x0(6)x→>x0 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 2.自变量趋于有限值时函数的极限
一、函数极限的定义 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 2. 自变量趋于有限值时函数的极限 对于 y = f (x), 0 (4) x x → 0 (5) x x → + 0 (6) x x → − (1) x → (2) x → + (3) x → − 自变量的变化过程有六种形式:
1.自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1设函数f(x)当x大于某一正数时有定义, 若VE>0,3X>0,当x>X时,有f(x)-4|<6 则称常数A为函数f(x)当x>时的极限记作 imf(x)=4或f(x→A(当x→>∞) x→00 x<-X或x>X团-8<f(x)<A+E 几何解释: AtE y=f(x) O X 当x<-Xx>X时,函数yf(x)的图形完全落在以 直线y=4为中心线,宽为2e的带形区域内
− X X A+ A− o x y y = f (x) A 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若 X 0, 当 x X 时,有 f (x) − A , 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A (当x →) 几何解释: x −X 或x X A− f (x) A+ 记作 0, A 为函数 f (x)当x → 当x<－X或x>X时，函数y=f (x)的图形完全落在以 直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内．
例1.证明lim-=0. y x→>0X X 让: 0 x 故v>0欲使-0<6只要|x|>即可 取X=1,当1x1>X时就有1-0<因此lm=0 E x→∞ xX 两种特殊情况: limf(x)=A-VE>0,3X>0,当x>X时,有 x→)+o f(x)A<e limf(x)=AVE>0,3X>0,当x<-Y时,有 x→)-00 f(x)-4|<6
例1. 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1 X = 当 x X 时, 1 0 , x − 因此 1 lim 0. x→ x 就有 = 故 0, 欲使 0 , 1 − x 只要 1 x 即可. o x y x y 1 = 两种特殊情况 : f x A x = →+ lim ( ) 0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) − A f x A x = →− lim ( ) 0, X 0, 当 x −X 时, 有 f (x) − A
2.自变量趋于有限值时函数的极限 (1)x→>x0时函数极限的定义 引例测量正方形面积(真值:边长为x0;面积为A) 直接观测值确定直接观测值精度δ: 边长x x-x0|< 间接观测值 面积x2任给精度,要求x2-A<E 我们称集合U(a,δ)={x|a-<x<a+6 xx-a< 点a的δ邻 a-s a ats
2. 自变量趋于有限值时函数的极限 (1) 0 x → x 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 ; 面积为A ) 0 x 边长 面积 2 x 直接观测值 间接观测值 任给精度 , 要求 x − A 2 确定直接观测值精度 : x − x0 0 A x x 点a的 邻域. a (a, ) = x a − x a + = x x − a ( ) a − a + 我们称集合