注意 一般情况下，对任何两个集合A、B, 当A≠B时，有：AXB≠BXA, 当A=B时，有：AXB=BXA=A2。 当A、B是有限集时，有AXB|=|BXA|=|AXIB|。 AX(BXC)(AXB)XC 约定：当A=Φ或B=Φ，则AXB=Φ 2025/5/13 计算机与信息工程学院 26
2025/5/13 计算机与信息工程学院 26 注意 一般情况下，对任何两个集合A、B， 当A≠B时，有：A×B≠B×A， 当A＝B时，有：A×B＝B×A＝A 2 。 当A、B是有限集时，有|A×B|＝|B×A|＝|A|×|B|。 A×(B×C）≠（A×B）×C 约定：当A＝ 或B＝ ，则A×B＝
定理设A、B和C是任意三个集合 AX (BU C)=(AXB)U (AXC) AX(B∩C)=(AXB)∩ (AXC) (AUB )X C=(AXC)U (BXC) (A∩B)XC=(AXC)∩(BXC) 定理设A、B、C和D为四个非空集合，则 AXB CCXD当且仅当AcC,BCD.。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 27
2025/5/13 计算机与信息工程学院 27 定理 设A、B和C是任意三个集合 A×（B ∪ C）＝（A×B）∪（A×C） A×（B ∩ C）＝（A×B） ∩ （A×C） （A∪B ）× C＝（A×C）∪（B×C） （A∩B ）× C＝（A×C）∩（B×C） 定理 设A、B、C和D为四个非空集合，则 A×B C×D当且仅当AC,BD
二、什么是二元关系 定义设A,B为两个集合，AXB的任何一个 子集R称为从A到B的二元关系，简称关系。 如A=B,则称R为A上的二元关系。 设一有序对：〈a,b>∈R,记为aRb,读作“a对 b有关系R”。如：<a,b>R,则记为aRb,读作 “a对b没有关系R”。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 28
2025/5/13 计算机与信息工程学院 28 二、什么是二元关系 定义 设A，B为两个集合，A×B的任何一个 子集R称为从A到B的二元关系，简称关系。 如A＝B，则称R为A上的二元关系。 设一有序对：<a,b>∈R，记为aRb，读作“a对 b 有关系R” 。如：<a,b>R，则记为aRb，读作 “a对b没有关系R”
特别地 特别：当R=Φ时，称R为空关系； 当R=AXB时，称R为全关系。 A上的恒等关系IA={KX,x>X∈A 例1设A={5,4,0,-1},求 (1)A上的等于关系R;(2)A上的小于等于关系S 解 (1)R={K5,5>,<4,4>,<0,0>,<-1,-1>} (2)S={K5,5>,<4,4>,<0,0>,<-1,-1>,<4,5>, <0,5>,-1,5>,<0,4>,<-1,4>,<-1,0>} 2025/5/13 计算机与信息工程学院 29
2025/5/13 计算机与信息工程学院 29 特别地 特别：当R＝Φ时，称R为空关系； 当R＝A×B时，称R为全关系。 A上的恒等关系IA＝{<x,x>|xA} 例1 设A={5,4,0,-1},求 (1)A上的等于关系R；(2)A上的小于等于关系S 解 (1)R={<5,5>,<4,4>,<0,0>,<-1,-1>} (2)S={<5,5>,<4,4>,<0,0>,<-1,-1>,<4,5>, <0,5>,<-1,5>,<0,4>,<-1,4>,<-1,0>}
例2设B={1,2,3,6},求B上的整除关系R。 解R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>,<1,2>, <1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>} 定义设R是二元关系，由<x,y>∈R的所有x组 成的集合domR,称为R的前域， domR={x|存在y,使得〈x,y>eR} 使得<x,y>eR的所有y组成ranR,称为R的值域。即： ranR={y|存在x,使得〈x,y>eR} 并称FLDR=domR UranR为R的域。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 30
2025/5/13 计算机与信息工程学院 30 例2 设B={1,2,3,6},求B上的整除关系R。 解 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>,<1,2>, <1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>} 定义 设R是二元关系，由<x,y>R的所有x组 成的集合domＲ,称为R的前域. domＲ={x｜存在y，使得 <x,y>R} 使得<x,y>R的所有y组成ranR，称为R的值域。即： ranＲ={y｜存在x，使得 <x,y>R} 并称FLDR＝domＲ∪ranR为R的域