第七节 第十二章 传里叶级款 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y口Asin(口t☐口)（谐波函数） (A为振幅，口为角频率p为初相) 复杂的周期运动：y口A0口☐An sin(n0t口·n》 n☐ (谐波迭加 4nsin马n cos n□I口4ncos□n sin nt 令 ☐Ao,an☐An sinn,bm☐An cos 口t0x 得函数项级数 ,o□(a ob,sinx） 2 kI 称上述形式的级数为三角级数 HIGH EDUCATION PRESS 回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 为角频率,φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系 1,cos x,sinx,cos 2x,sin 2x,cosnx,sinnx, 在[工，口]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [卫，]上的积分等于0 证： 1 cosnxdx▣1[sinnxdx口0(nD1,2,D〉 cos kx cos nx dx coskxcosnxE,dos(k☐n)eos(k☐m)x cos(k☐n)x□cos(k☐n)xdx口0(k☐n) 同理可证： sin kx sin n.xdx☐0(k☐n） cos kx sin nx dx☐0 HIGH EDUCATION PRESS 动 返回
定理 1. 组成三角级数的函数系 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[工，口] 上的积分不等于0.且有 1ddx☐2▣ cos-nxdx (n☐1,2,0） sin2 nxdx U 1☐cos2nx 1☐cos2nx cos-nx☐ sin2 nx 2 2 HIGH EDUCATION PRESS
上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2口的周期函数 f(x)(sinn) 且 ① 2 右端级数可逐项积分，则有 ()cosndx (n) ② f()sinnxdx (n12.) 证：由定理条件，对①在[工，☐]逐项积分，得 (x)dx 4o dx▣ an [cosnx dx Ob [sinnx dx n☐ ■ HIGH EDUCATION PRESS 机动 回
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束