Malthus模型与Logistic模型 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控 制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 以下将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下 这方面的问题。一般：本乏体的分析可以通过一些简单模型的 复合离散化为连续，方 据生态系统的特征自行建立 相区 便研究 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控 制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 以下将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下 这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的 复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立 相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方 便研究 Malthus模型与Logistic模型
模型1马尔萨斯(Malthus)模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口 净增长率r基本上是一常数，（r=bd为出生率，为死 亡率)，即：1dN N dt =r或 (3.5) (3.1)的解为：N(0=Neu- (3.6) 其中N。=N(t)为初始时刻t时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T,则有：2N。=N,e 故
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口 净增长率r 基本上是一常数，（r =b-d,b为出生率，d为死 亡率），即： 1 dN r N dt = dN rN dt 或 = （3.5） 0 ( ) 0 ( ) r t t N t N e − = （3.6） （3.1）的解为： 其中N0 =N(t 0 )为初始时刻t 0时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 0 0 2 rT N N e = ln 2 T r 故 =
模型楂 簌历向的姨的像特红料6年[火？的期倪 戌丹何破数铺型邮蘑报结国童土细安 即辣海弹金 的每6年明 Malthus模型实际上口右在胜体兑 扇上抄 所以Malthus模型假设的人口 每34. 净增长率不可能始终保持常数， 它应当与人口数量有关。 级颈的增长 0.5 1950 2000 2050 2100 2150 2200 年
模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大 约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数 量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量 每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 1950 2000 2050 2100 2150 2200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 1011 t /年 N/人 马尔萨斯模型人口预测 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， 而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在群体总 数不太大时才合理，到总数增大时， 生物群体的各成员之间由于有限的 生存空间，有限的自然资源及食物 等原因，就可能发生生存竞争等现 象。 所以Malthus模型假设的人口 净增长率不可能始终保持常数， 它应当与人口数量有关
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：=) 从而右·dM (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K(近似地将K看成常数)，N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9)指出，种群增长率与两者的乘 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9)也 被称为统计筹算律的原因。 (3.8)可改写成： dN (3.8)被软为6ist心模型或生物总数增恨的统计筹算律，是由荷兰数学生 物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： ( ) dN r N N dt = （3.7） r(N)是未知函数，但根 据实际背景，它无法用 拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的 模型，我们不妨采用一下工 程师原则。工程师们在建立 实际问题的数学模型时，总 是采用尽可能简单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此 时得到的就是马尔萨斯模型。 对马尔萨斯模型的最简单的改 进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程： ( ) dN r aN N dt = − (1 ) dN N r N dt K 或 = − （3.8） （3.8）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生 物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 （3.8）可改写成： ( ) dN k K N N dt = − （3.9） (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也 被称为统计筹算律的原因
对（3.9)分离变量： dN=kKdt 两边积分并整理得： N- K 1+Ce版 令N(O)=N,求得： K-N。 N 故(3.9)的满足初始条件N(O)=N的解为： NoK N(t)= No+(K-No)e- (3.10) 易见： 1.5 N0=1.5 Logistic曲线 N(0)=No,lim N(t)=K K=1 N(t)的图形请看图3.5 0.5 N0=0.1 10 20 0 40 50 图3-5
图3-5 对（3.9）分离变量： 1 1 dN kKdt N K N + = − 两边积分并整理得： 1 kKt K N Ce− = + 令N(0)=N0，求得： 0 0 K N C N − = 故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为： 0 0 0 ( ) ( ) kKt N K N t N K N e− = + − （3.10） 易见： N(0)=N0 ， lim ( ) t N t K →+ = N(t)的图形请看图3.5