《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计 7.4 正态总体均值和方差的区间估计

7.4正态总体怕值和方差的 区间估计 一、单个正态总体N(山，o)的情形 二、两个正态总体N(4,o),N(42,o)的情形 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.4 正态总体均值和方差的 区间估计 一、单个正态总体 2 N( , )   的情形 二、两个正态总体 2 1 1 N( , )   ， 2 2 2 N( , )   的情形

1、均值的置信区间 (1)若o2已知，则由例14可知，u的置信度为1-α的 置信区间为 -+ (2)若σ2未知，此时不能使用上述给出的区间.考虑到 S2是o2的无偏估计，用S替代σ，此时 -华~n-),即改U统计量为T统计量. SIn 〔-.a-小+a- 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 (1)若 2  已知，则由例 14 可知，  的置信度为 1− 的 置信区间为 / 2 / 2 X u X u , n n       − +    ． 1、均值  的置信区间 (2)若 2  未知，此时不能使用上述给出的区间．考虑到 2 S 是 2  的 无 偏 估 计 ， 用 S 替 代  ， 此 时 ~ ( 1) / X T t n S n −  = − ，即改U 统计量为T 统计量． / 2 / 2 ( 1), ( 1) S S X t n X t n n n     − − + −    

【例15】设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计） 分别为 6.05.75.86.57.06.35.66.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(4,σ2).求4的置信度 为0.95的置信区间： (1)若由以往经验知o=0.6(h);(2)若o未知.（a=0.05) 解(1)由题可知，总体方差已知，采用统计量U,4的 置信度为1-α的置信区间为 将元=6.0,0=0.6，n=9,2025=1.96,代入上式得μ的 置信区间为(5.602,6.392). 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 2 N( , )   ．求  的置信度 为 0.95 的置信区间： (1)若由以往经验知  = 0.6 (h)；(2)若  未知．(  = 0.05 ) 解 (1) 由题可知，总体方差已知，采用统计量 U ， 的 置信度为1− 的置信区间为 / 2 / 2 x u x u , n n       − +     ． 将 x = = 6.0, 0.6  ， n = 9， z0.025 =1.96 ，代入上式得  的 置信区间为(5.602,6.392) ．

【例15】设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计） 分别为 6.05.75.86.57.06.35.66.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(4,σ).求μ的置信度 为0.95的置信区间： (1)若由以往经验知o=0.6(h)；(2)若o未知.（a=0.05) 解(2)由题可知，总体方差未知，采用统计量T，4的 置信区间为 〔a-a-l 将x=6.0,s=0.57,n=9,t25(8)=2.306,代入上式 得4的置信区间为(5.562,6.438). 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 2 N( , )   ．求  的置信度 为 0.95 的置信区间： (1)若由以往经验知  = 0.6 (h)；(2)若  未知．(  = 0.05 ) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ，  的 置信区间为 / 2 / 2 ( 1), ( 1) s s x t n x t n n n     − − + −    ． 将 x = 6.0， s = 0.57， n = 9 ， 0.025 t (8) 2.306 = ，代入上式 得  的置信区间为(5.562,6.438) ．

2、方差o2的置信区间 (1)若μ已知，则由x2分布的定义知 ∑(X,- ~X2(n). 对于置信度1-a,有 2024年8月27日星期二 6 目录> 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 (1) 若  已知，则由 2  分布的定义知 2 1 2 2 ( ) ~ ( ) n i i X n    =  − ． 2、方差 2  的置信区间 对于置信度 1− ，有 2 2 2 1 1 / 2 / 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 n i i X P n n        = −   −       = −       