江画工太猩院 3、单侧连续 若函数f(x)在(a,x有定义,且f(x-0)=f(xn), 则称f(x)在点x1处左连续; 若函数f(x)在x1,b内有定义,且f(x0+0)=f(x1 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x 处既左连续又右连续
江西理工大学理学院 3、单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函数 f x 在 x 处连续 ⇔ 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x
江画工太猩院 x+2,r≥0 例2讨论函数f(x)= 在x=0处的 2,x<0 连续性 #t lim f(x)=lim(x+2)=2f(O), x→0 limf(x =lim(x-2)=-2*f(0), 右连续但不左连续, 故函数∫(x)在点x=0处不连续
江西理工大学理学院 例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处的 ⎩⎨⎧ − < + ≥ = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2≠ f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f ( x)在点 x = 0处不连续
江画工太猩院 4、连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(an,b内连续,并且在左端点 x=n处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间[a,b止上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如有理函数在区间(-0,+0)内是连续的
江西理工大学理学院 4、连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,有理函数在区间 (−∞,+∞)内是连续的
江画工太猩院 例3证明函数y=sin在区间(-∞,+∞内连续 证任取x∈(-0,+40), △ △ y=sin(x+ Ax)-sin x 2 sin. cos(x+m) ∵c0s(x+ ≤1,则Ays2in 对任意的a,当α≠0时,有inc4a △ 故4ys2in;< △,∴当Δx→0时,4y→0 即函数y=sinx对时任意x∈(∞,+∞)都是连续的
江西理工大学理学院 例3 证明函数 y = sin x在区间(−∞,+∞)内连续. 证 任取 x ∈(−∞,+∞), ∆y = sin( x + ∆x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x ∆ ⋅ + ∆ = ) 1, 2 cos( ≤ ∆ + x Q x . 2 2sin x y ∆ 则 ∆ ≤ 对任意的 α,当α ≠ 0时, 有 sinα <|α |, , 2 2sin x x y < ∆ ∆ 故 ∆ ≤ ∴当∆x → 0时,∆y → 0. 即函数 y = sin x对任意 x ∈(−∞,+∞)都是连续的
江画工太猩院 二、函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在点x处有定义; (2)im∫(x)存在; ()lim f(x)=f(ro). x→x0 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称 函数f(x)在点x处不连续(或间断),并称点x为 f(x)的不连续点或间断点)
江西理工大学理学院 二、函数的间断点 ( ) : 函数 f x 在点 x 0处连续必须满足的三个 条件 ( 1 ) ( ) ; f x 在点 x 0处有定义 ( 2 ) lim ( ) ; 0 f x 存在 x → x ( 3 ) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函数 在点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 f x f x x x