CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修41)几何证明选讲 ∴ADCh AB CB (2) 由(1)(2)式得 2-(F,即(F-16 ∴BF=8 168 33 例2如图1-13.△ABC中,DE∥BC 图12 F∥CD.求证:AD是AB和AF的比例中项 证明:在△A中,∵DE∥B ∴ABA AD F (1) 在△ADC中,∵EF∥CD AD Ac AF AE (2) 由(1)(2)式得 AB AD) 图t13 AD AF ∴AD=AB·AF,即AD是AB和AF的比例中项 例3用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三 边与原三角形的边对应成比例 已知:如图1-14,DE∥BC·DE分别交AB、AC于点D、E. 求证:AB3=AC:-B 分析:由平行线分线段成比例定理的推论可直接得到 AD AE AB AC 为了川半行线分线段成比例定理证明C=C,2 需要构造一组平行线,使AE、AC∵.DE、BC成为由这组 平行线截得的线段,只要过点E作EF∥AB,交BC于点 F,就可以达到上述的 证明:过点E作EF∥AB,交BC于点F, 图114 ∵DE∥BC,EF∥AB, AD AA IBF AH AB AC BC Ac 且四边形DEFB为平行四边形, DE-Bs1 AE lI AC 13C
第一讲相似三角形的判定及有关性质 AB Ac BC “平行线分线段成比例定理”是平面儿何中的定理,一个自然的想法是,这个定理在空 间中也成立吗?请你自己完成这个探究 实际上命题的推广可以有不同的方向.例如,在“平行线分线段成比例定理”中 如果将平行线改为平行平面,也可以探究相应命题是否成立.请完成下列探究 如图115.直线h、l2被三个平行平面a R、y所截,直线h与它们的交点分别为A、B、 C.直线h与它们的安点分别为D,、E.F.m 与 相等吗? 图1t5 题 1.已知AB、CD为梯形ABCD的底,对角线AC、BD的交点为O,且 AB=8,CD=6,BD=15.求OB、OD的长 2.如图,在△ABC中,作平行于BC的直线交AB于D,交AC于E.如果BE和CD 相交于O,AO和DE相交于F,AO的延长线和BC相交于G.证明: a图- (2)BG= (第2题) (第3题)
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修41)几何证明选讲 3.如图,A、B两点间隔一个湖洎,因而A、B两点间的距离无法直接测量.请你设计一 个间接测量AB长度的方案,并说明所设计方案的合理性 4.如图,梯形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上, EF∥AD.假设EF作上下平行移动, (1)如果BB=2,求证:3EF=BC+2AD; )如果一3,来证:BF=2BC+3AD1 (3)请你探究一般结论,即如果 AE m EB n ,那么可以得到什 〔第4题) 么结论 三相似三角形的判定及性质 1.相似三角形的判定 先回顾初中已学的相似三角形知识 定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应 边的比值叫做相似比(或相似系数). 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需要考虑6个元素,即三组对应角是否分 别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦.所以我们曾经给出过如下几个判定 两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等.两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似 下面对这些判定方法进行严格证明 如图1-16,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,且DE∥BC.由上一节的 例3可知,△ADE和△ABC的三边对应成比例.又由DE∥BC可得,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C·而∠A是公共角,因此△ADE∽△AB∴ D 图1-16 图1-17 10°
第一讲相似三角形的判定及有关性质 第拼 操 如果1、E交于BA、C的延长线上,且DE∥BC(图1-17),那么结论是否还 成立 目面题 对于图1-17的情形,同样可以证明△ADE∽△ABC.这是判定两个三角形相似的 个定理,我们把它称为预备定理 预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成 的三角形与原三角形相似 下面从预备定理出发,看看能否得出一些新的结论. 可以发现,只要DE∥BC.无论D、E在AB、A边 上的什么位置,都有△ADE△AC:如图1-18,如果 DE,∥B(=1,2,…),那么也有△ABC∽△ADE (=1.2,…).从运动变化的观点看,由于DE∥BC,因 此在D、E的变化过程中,△ADE的边长在改变,而角的 图118 大小始终不变.这说明,只要两个三角形的三个对应角相 等,那么它们就相似.又由于三角形的内角和为180°,所以只要两个三角形中有两个对应 角相等,那么第三个对应角一定相等,这样就有“两角对应相等,两三角形相似” 般地,我们有 判定定理I对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似 已知:如图1-19.在△ABC和△A'B中,∠A=∠A’,∠B=∠B 求证:△ABC∽△AB( 证明:在△AB的边AB(或AB的延长线)上截取AD=A'B,过点D作 DE∥BC交AC于点E.由预备定 理得: △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B,∠B=∠B, ∴∠ADE=∠B. ∠A=∠A'.AD=A'B' ∴△ADH≌△A'B( ∴△ABC△AB 例1如图1-20.在△ABC中,AB=AC.D是AC边上一点,BD=BC求 证:BC2=AC(·CD 11
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修41几何证明选讲 AC BO 分析:要证明BC=AC·(1).即证明BCD,只要证明AC、BC和BC、CD为 对相似三角形的两组对应边即可.为此,要证明△ABC和△BC相似 证明:∵△ABC是等腰三角形, ∠A=180°-2∠C ∵△CD也是等腰三角形, ∴∠DC=180°-2∠C ∴∠A=∠DBC 又∵∠C是公共角, ∴△ABCO△BDC =C1D,即B=AC,CD 图120 例2如图1-21,圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于一点E 求证:EB=1)B 分析:要证C-(B·应考虑EB、EC、DB、CB这四条线段所在的两个三角形是否 相似EB、BB在△EBD中,EC、CB在△ECB中,因此可以考虑证明△EBD与△ECB 相似 证明:由已知条件,可得∠ACE=∠BCE ∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角, ∴∠ACE=∠ABE ∠BCE=∠ABE 又∵∠BED=∠CEB ∴△EBD△ECB. EB、DB EC C1 图121 沿着“从运动变化中找不变性”的思路,可以发现,在图118中,对于DE的 任意一个位置,∠A是△ABC和△ADE的公共角,而且A一A,即两边对应威比 例,夹角相等,满足这两个条件时,两个三角形是否一定相似?你能否依照判定定理1 的证明思路证明它? 12