第一讲相似三用形的判定及有关性质 / B 图1-2 图1 通过观察并测量,可以发现,无论l与是否平行,只要 AA2=A:A1,就们BB2=BB.因此可以猜想: 由观察或测量 已知1∥l2∥1,直线1,与1,l2、l分别交于A1、A 得到的沽论不一定 可靠,必须通过严 A1和B1、B2、B1·如果A1A=AA,那么=B2B1 格的数学证明,才 下面我们给出这个猜想的证明. 能得到正确的、具 证明:(1)如图1-2,当∥时, 有一般悲义的结论 你能证明这个猜 ∵h1∥l2∥l.∥r, 想吗? 四边形A1B1B2A是平行四边形 ∴BB=A1A2 同理可证B4=A2A1 AA =A-A ∴BB=BB (2)当/与不平行时,如图1-1.过B作BC2∥AA 交l于C:过B作BC∥AA,交l于Cx.同(1)的证 明方法可得BC:=B2C3 考察△B1CB2和△B2CB ∵B(2∥BC(为什么?) ∴∠CBB=∠CBB 又∵∠BB(2=∠B2BC3BC2=BC, 图14 △BCB2≌△BCB B,B-1B 于是,我们有 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直 线上截得的线段相等.那么在其他直线上截得的线段也 相等 B 将图1-4中的直线了平移,使与l相交于A 图1-5),考察△AAB.因为AA:=AA,所以根据平 523
CHAPTER 通高中课程标堆实验教科书数学(选修41几何证明选讲 行线等分线段定理可得AB2=BB.于是有 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 ●你能证明这个 推论吗? 必平分第三边0 考察图1-4中的梯形AABB1·你能发现什么结论? 推论2经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰 例1如图16,要在一块钢板上的A、B两个 小孔间再钻三个小孔,使这些小孔都在直线AB 上,井且每两个相邻的小孔中心的距离相等.如果 只有圆规和无刻度直尺,应当怎样确定小孔的中心 位置? 作法:(1)连结AB.过点A作适当射线AC; (2)在射线A上,以适当长r为半径,用圆 规顺次截取AD=DE=EF=FY=r; 图16 (3)连接(; (4)过点F、E、D分别作GB的平行线FR、EQ、DP,分别交AB于点R、Q、P 则P、Q、R就是中问三个小孔的中心位置 你能说说上述作图方法的依据吗? 例2如图1-7.1、E分别是△ABC中B边和 AC边的中点,求证:DE∥BC且DE=BC 这是已经学过的三角形中位线定理.下面我们用 E 平行线等分线段定理证明它 证明:过D作D∥B根据推论1.E为A 的中点,而E是AC的中点,故E与E重合, 即DE∥BC 图17 同样,过D作DF∥AC,交B于F则 F=F(. ∵D)E∥FC,D)F∥EC
第一讲相似三角形的判定及有关性质 算- 四边形D)F(F是平行四边形 ∴DE=F 又∵:FC=1Bx DE-: BC 个数学命题的发现往往来自于对特例的观察和慨括,因为在特例中.其命题的各种 信息会更加明显,容易被人们捕捉,从而更容易发现条件与结论的内在联系.将问题特殊 化,通过观察特殊现象而得出一般结论的猜想,或者通过解决特例而获得解决般问题的 思想方法的启示,这是数学研究中常用的方法.请同学们回顾平行线等分线段定理的概括 过程,从屮体会从特殊到一般的思考方法 习题 1.画一条6厘米长的线段,并把它7等分 2.已知:如图,M、N分别是□ABCD的AB、CD边的中点.CM交BD于 点E,AN交BD于点F.请你探讨BE、EF、FD三条线段之间的关系, 并给出证明 3.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、DC的中点,连接EF, 且EF交BD于G,交AC于H. 求证:GH=(BC=AD) (第2题 第3题) 二。平行线分线段成比例定理 我们看到,平行线等分线段定理以“相邻两条平行线间的距离都相等”为条件,如果 一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,又可以得出怎样的结论呢?
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(选41)几何证阴进讲 观察 如图1-8,两条直线被一组平行线所娥,当平行线间的距离不相等时,所截得的 我段AB与BC、DF与EF之间有什么关系? D 图1-8 图 容易发现,AB≠BC,DE≠EF. 由以往学习平面几何的经验,当几何图形不全等时,可以考察它们是否相似,而相似 是通过“对应边成比例,对应角相等”来表现的,由此得到启发,我们可以研究被一组平 行线截得的线段是否有“对应边成比例”? 在图1-8中 BC与EF相等吗?取AB2的特殊情形进行探讨 我们可以将上述问题化归为平行线间距离相等的情形 如图1-9.如果 AB 2 BC 3 设线段AB的中点为P1,线段BC的三等分点为P2、P,这 时有 AP=P,B=BP.=P,P,=P, 分别过点P1、P、P作直线a1、a2、a平行于l,与的交点分别为Q1、Q2、Q 由平行线等分线段定理可知: DQI=QE-EQ=QQ,=Q F. ∵DE=DQ+QE=21Q, EF=EQ2+QQ+Q,F=3DQ
”第一讲相似三角形的判定及有关性质 第一拼 ∴!E=21X EF 3/ 4=3 ∴ABDE BC Er. (1 当为有理数时,即 (m,n是互质的正整数),AB是 如果 长度单位的m倍,B是长度单位的n倍,依照上面的方法,可以 证明(1)成立.更一般地,可以证明,当A∥∥A,且AB是实数 么b d a+h 成豆吗? 时,(1)式也成 由(1)式和比例性质,可以得到 设 13 AB DE sC Fr 请你证明这两个 1C ACDF’ACDF 等式(比例的性 般地,我们有 质) 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 观察图1-1和图1-1.它们是图18的特殊情形,即1与的交点分别在l1、4上 根据平行线分线段成比例定理,可 AD F A13 4( 如果把图110.11中的直线l2看成是平行于△ABC的BC边的直线,那么可以 得到: 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例 图|10 例1如图1-12.△AB中,DE∥BC,DF∥AC,AE=4,FC=2,BC=8.求BF 和(F的长 解:∵DE∥B AI) AE I 2 AB 63. ∵DF∥AC 7