第一讲桕化三角形的判定及有关性质 箅一拼 判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边 对应成比例,并且夹角相等、那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相 等,两三角形相似 已知:如图12.在△AB和△AB中,∠A=∠A.41N AIs AC 求证:△ABC∽△AB 分析:如图122,在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)上截取AD=AB, AE=A℃’,连接DE.因为∠A=∠A',所以△ADE≌△ABC.这样,我们可以通过证 明△ABCU△AE面证明△ABCv△ABC∵.由预备定理可知,只要证明DE∥BC,就 可以得到△ABC△ADE∵ 由条件AB=4C以及AD=AB AE=At,有 AD P AB 4C 于是,如果能从 AD AF AB C 推出DE∥BC.那么就 图122 能得到判定定理2的证明 由平行线分线段成比例定理的推论可知,当DE∥B时,有AD一AF.因而我们猜 想,这个推论的逆命题可能是成立的.这样,我们需要先证明下面的命题 引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边 已知:如图123,△ABC中,点D、E分别在边AB,AC上,且A=AE. 求证:DE∥BC. 证明:过D作直线DE'∥BC,交AC于点E,则 ADAE.(为什么?) AB AC AD AE AB AC AE Ar ∴AE=AE, 因此点E与点E重合,即直线DE与直线DE重合.所以 图123 DE∥BC 请同学们写出判定定理2的证明过程 在探究数学问题的过程中,应当做到“步步有据”.有时,为了寻找某个步骤的推理依 据,往往会产生一个原问题的辅助问题.数学家把这种辅助问题称为引理.显然,引理的 13
CHAPTER 蔷通高中课程标准实验教科书数学(选修41几何证明选讲 证明为解决原问题奠定了基础. 当直接证明一个问题比较困难时,往往采用间接的方法.上述引理的证明采用的“同 法”就是一种间接证明方法.应用同一法证明问题时,往往先作出一个满足命题结论的 图形,然后证明图形符合命题已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而 证明命题成立. 操圖 判定定理2的证明可以采用判定定理1的思路,即在AB上截取AD=A'B',过 :D作DE∥BC,交AC于点E…这样就可以绕开引理,殊途同归.你能给出证明吗? 例3如图1-24.在△ABC内任取一点D.连接AD和BD.点E在△ABC外, ∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.求证:△DBE∽△ABC∴ 证明:在△DE与△ABC中,∠DBE=∠EBC+∠CBD.∠ABC=∠ABD ∠DBC. ∠ABD=∠EBC, ∴∠DHE=∠ABC 在△ABD和△CBE中,由已知条件有 ∠EBC=∠DBA,∠ECB=∠DAB ∴△ABD△CBE. BO AB 即 BCAB (2) 综合(1)(2)式.由判定定理2知 图124 △DBE∽△ABC 研究两个三角形相似的判定问题.除了上面的方法外,还可以通过与三角形全等的判 定进行类比,得出有关猜想.例如,类比“三边对应相等,两三角形全等”,可以得猜想: 三边对应成比例,两三角形全等” 判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三 条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似 已知如图125,在△ABC和△AB℃“中,AB=BC=C 求证:△AB℃'∽△ABC. 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B,过点D作DE∥BC,交AC 于点E.于是可得 14