§4 Fourier变换和 Fourier积分 Fourier变换及其逆变换 前面关于 Fourier级数的论述都是对周期函数而言的,那么对于 非周期函数,又该如何处理呢? 在(-,+∞)上可积的非周期函数f(x)可以看成是周期函数的极限 情况,处理思路是这样的: (1)先取f(x)在[-7,上的部分(即把它视为仅定义在[-7,7上 的函数),再以2T为周期,将它延拓为(-0,+∞)上的周期函数f(x); (2)对得到的周期函数f(x)作 Fourier展开 (3)令T趋于无穷大
Fourier 变换及其逆变换 前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对于 非周期函数，又该如何处理呢？ 在(−,+) 上可积的非周期函数 f (x)可以看成是周期函数的极限 情况，处理思路是这样的： （1） 先取 f (x)在[−T,T]上的部分（即把它视为仅定义在[−T,T]上 的函数），再以2T 为周期，将它延拓为(−,+) 上的周期函数 f x T ( )； （2） 对得到的周期函数 f x T ( )作 Fourier 展开； （3） 令 T 趋于无穷大。 §4 Fourier变换和Fourier积分
下面叙述处理过程(但省略具体细节)。将 Euler公式 cos e 10X ,S团b、e eeio 代入周期为27的函数f(x)的 Fourier级数,记是圆频率(下面就简 称为频率),o=m,得到 fr(x)+2(an coso, x+bn sin o,x) a-16 +ib
下面叙述处理过程（但省略具体细节）。将 Euler 公式 i i e e cos 2 − + = ， i i e e i i i sin (e e ) 2i 2 − − − = = − − 代入周期为2T 的函数 f x T ( )的 Fourier 级数，记 π T 是圆频率（下面就简 称为频率）， π n n T = ，得到 f x T ( ) = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n n n a x b x a 0 i i 1 i i e e 2 2 2 n n n n n n x x n a a b a b − = − + = + +
fr(x)+2(a, coso, x+bn sin o, x) a +ib 2 2 f1(t) (n=1、2,…) 则得到 f∫r(x) (c en+C_e nd 22 这称为 Fourier级数的复数形式
f x T ( ) = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n n n a x b x a 0 i i 1 i i e e 2 2 2 n n n n n n x x n a a b a b − = − + = + + 。 记 0 a0 c = , i n n n c a b = − 1 i ( )e d n T t T T f t t T − − = = − c n （n = 1,2, ）， 则得到 f x T ( ) ~ 0 i i 1 1 ( e e ) 2 2 n n x x n n n c c c + − − = + + 1 i e 2 n x n n c + =− = , 这称为 Fourier 级数的复数形式
将cn的表达式代入,即有 f(x) 2T ∑|C,(e n=-00 记△O=on-On1=,于是当T→>+∞时△→0,即得到 f(x)=lim f(x) ∑J △ 2汇 n=一00 记g(0)=J()e-dlx,则上式可写成 f(x)~m∑q(On)O
将 cn 的表达式代入，即有 f x T ( ) ~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n f t t T + − − =− 。 记 1 π n n T = − = − ，于是当T → +时 →0，即得到 f (x) = lim ( ) ~ T T f x →+ i i 0 1 lim ( )e d e 2π n n T t x T T n f t t + − → − =− 。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T f t t − − = ，则上式可写成 f (x) ~ + =− → n T n lim ( ) 0
将cn的表达式代入,即有 f(x) 2T ∑|C,(e n=-00 记△O=0.-0,于是当7→+时△m→0,即得到 f(x)=lim f(x) ∑J △ T→+∞ 2汇 记g(0)=J()e-dlx,则上式可写成 f(x)~m∑q(On)O 由于当△o→>0时,gn(o)将随之趋于(o) 2rJ f(e i ot dt e 所以将上式右端看成o(o)在(-∞,+∞)上的“积分”,于是(形式上)就 有 dt d
由于当 →0 时， () T 将随之趋于 1 i i ( ) ( )e d e 2π t x f t t + − − = ， 所以将上式右端看成．．() 在(−,+) 上的“积分”，于是（形式上 ．．．）就 有 f (x) ~ 1 i i ( )e d e d 2 t x f t t + + − − − 。 将 cn 的表达式代入，即有 f x T ( ) ~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n f t t T + − − =− 。 记 1 π n n T = − = − ，于是当T → +时 →0，即得到 f (x) = lim ( ) ~ T T f x →+ i i 0 1 lim ( )e d e 2π n n T t x T T n f t t + − → − =− 。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T f t t − − = ，则上式可写成 f (x) ~ + =− → n T n lim ( ) 0