注意:对于具体给定的实数a,幂函数y=x“的定义域与可导范 围可能扩大,例如 y=x(n为自然数)的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 y=nx",x∈(-0,+∞); y=1(n为自然数)的定义域为(-,0)0.+0),它的导函数为 n nH,x∈(-∞,0)∪(0,+∞); y=x3的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 2 ,x∈(-∞,0)(0,+∞) y=x2的定义域为[0+∞),它的导函数为
注意：对于具体给定的实数a，幂函数 y x a = 的定义域与可导范 围可能扩大，例如： n y x = （n为自然数）的定义域为( , ) − + ，它的导函数为 1 , ( , ) n y nx x − = − + ； 1 n y x = （n为自然数）的定义域为( ,0) (0, ) − + ，它的导函数为 1 , ( ,0) (0, ) n n y x x + − = − + ； 2 3 y x = 的定义域为( , ) − + ，它的导函数为 3 2 , ( ,0) (0, ) 3 y x x = − + ； 1 2 y x = 的定义域为0,+)，它的导函数为 1 , (0, ) 2 y x x = +
求导的四则运算法则 定理4.3.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和2,它们的线性组合c1f(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 ICIf(x)+c2g(x)]=cif'(x)+c2g(x 证由f(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 [Gf(x)+c28(x)]=lir cf(x+△x)+c2(x+△x)]-[f(x)+c2g(x) Ax→0 Ax lim f(x+△x)-f(x) tc. lim g(x+△x)-g(x) Ax→0 (x)+c2g(x) 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f (x)和 g( x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2 ，它们的线性组合c f x c g x 1 2 ( ) + ( )也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [c f (x) c g x)] c f (x) c g x) 1 + 2 1 2 ( = + ( 。 证 由 f (x)和 g( x)可导性,根据定义，可得 c f x c g x 1 2 ( ) ( ) + = 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x c f x x c g x x c f x c g x → x + + + − + = 1 0 ( ) ( ) lim x f x x f x c → x + − + 2 0 ( ) ( ) lim x g x x g x c → x + − = 1 2 c f x c g x ( ) ( ). + 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和2,它们的线性组合c1f(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 ICIf(x)+c2g(x)]=cif'(x)+c2g(x 证由f(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 4(x)+2g(=lm/(x+A+8+)-/()+g Ax→0 Ax f(x+△x)-f(x) g(x+△x)-g(x) Im tc. lim (x)+c2g(x) 证毕 对于函数cf(x)+c2g(x)的微分,也有类似的结果 d[c f(x)+cg(x)=cd[f(x)+c,d[g(x)]
对于函数 c f x c g x 1 2 ( ) + ( )的微分，也有类似的结果： [ ( ) )] [ ( )] [ )] 1 2 1 2 d c f x +c g(x = c d f x +c d g(x 。 求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f (x)和 g( x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2 ，它们的线性组合c f x c g x 1 2 ( ) + ( )也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [c f (x) c g x)] c f (x) c g x) 1 + 2 1 2 ( = + ( 。 证 由 f (x)和 g( x)可导性,根据定义，可得 c f x c g x 1 2 ( ) ( ) + = 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x c f x x c g x x c f x c g x → x + + + − + = 1 0 ( ) ( ) lim x f x x f x c → x + − + 2 0 ( ) ( ) lim x g x x g x c → x + − = 1 2 c f x c g x ( ) ( ). + 证毕
因为log。x In x,由定理4.3.1和对数函数的导数公式,有 xIn a 例4.3.5求y=5 slog, x+3√x的导函数(a>0,a≠1) 解 y=(5lgnx+3y=5(0gx)+3xy=53 xlna2√x
因为 a x x a ln ln log = ，由定理4.3.1和对数函数的导数公式，有 ( ) x a x a x a ln 1 (ln ) ln 1 log = = 。 例4.3.5 求 y x x = 5log a + 3 的导函数 (a 0, a 1)。 解 5 3 (5log 3 ) 5(log ) 3( ) . ln 2 a a y x x x x x a x = + = + = +