S5微分若在有限增量公式Dy=fxo）Dx+o(Dx）中删去高阶无穷小量项，则得DV关于Dx的一个线性近似式，这就是“微分”；其中的线性因予xo）即为导数，所以，微分和导数是一对相辅相成的概念一、微分的概念微分的运算法则三、高阶微分四、微分在近似计算中的应用岚回后页前页
前页 后页 返回 一、微分的概念 §5 微 分 若在有限增量公式 中删去 高阶无穷小量项, 则得 关于 的一个线性近 似式, 这就是“微分” ; 其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则 导数. 所以, 微分和导数是一对相辅相成的概念. 返回
一、微分的概念微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的线性部分，请先看一个具体例子设一边长为x的正方形，它的面积S=x2是x的函数.如果给边长x一个增量△x，正方形面积的增量△S=(x+Dx)-x2=2xDx+(Dx)由两部分组成：△x的线性部分2x△x和△x的高阶部分（△.x)2.因此，当边长x增加一个微小量△x时，△S可用△x后页返回前页
前页 后页 返回 微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 数. 如果给边长 x 一个增量 , 正方形面积的增量 的线性部分 和 的高阶部分( )2 .因 此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用 一、微分的概念 由两部分组成 : 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 线性部分, 请先看一个具体例子
的线性部分来近似．由此产生的误差是一个关于△x的高阶无穷小量（△x），即以△x为边长的小正方形（如图）xAx2AxxAx回后页前页
前页 后页 返回 的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量 , 即以 为边长的小 正方形(如图)
定义 5 设函数 y=f(x), xi U(xo). 如果增量y=f(x+△x)-f(xo）可以表示成(1)Ay=A△x+o(△x),其中A是与^x无关的常数，则称函数f在点Xo可微，并称 A△x为 f在点xo处的微分，记作(2)dylx=x, = AAx, 或 df(x)x-xo= AAx.由定义，函数在点xo处的微分与增量只相差一突于Ax的高阶无穷小量,而dy是Ax的线性菌数。1后页巡回前页
前页 后页 返回 可以表示成 定义 5 设函数 如果增 量 可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一 个 关于 的高阶无穷小量,而 是 的线性函数
更通俗地说，d是△的线性近似定理5.10函数f在点x，可微的充要条件是f在点 xo 可导,且 df(x)lx=x= fdxo)Ax.证(必要性）如果f在点x.可微,据(1)式有Ay = A + o(1).Ax于是Ny= lim (A + o(1) = A,fdxo)= limAx? 0AxAxR0巡回后页前页
前页 后页 返回 于是 定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是 在 点 可导, 且 证 (必要性) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有 更通俗地说, 是 的线性近似