S2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理，本节用它来解决求不定式极限的问题。一、柯西中值定理二、不定式极限返回前页后页
前页 后页 返回 §2 柯西中值定理和 不定式极限 一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式极限的问题. 般的中值定理，本节用它来解决求不 二、不定式极限 返回
一、柯西中值定理定理6.5(柯西中值定理)设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上满足：(i) f(x),g(x) 在闭区间[a, bl 上连续;(ii)f(x),g(x)在开区间 (a, b)上可导;(ii) f"2(x)+ g"2(x) > 0 ;(iv) g(a) ± g(b) .则在开区间(α,b)内必定（至少)存在一点5，使得前页后页返回
前页 后页 返回 定理6.5(柯西中值定理) 设函数 f (x) , g(x) 在区间 [a , b] 上满足: (i) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (iii) ( ) ( ) 0 ; 2 2 f x + g x (iv) g(a) g(b) . 则在开区间 (a , b) 内必定 (至少) 存在一点 , 使得 一、柯西中值定理 (ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导;
f'()f(b)- f(a)g()g(b) -g(a)几何意义首先将f，g这两个函数视为以x为参数的方程u= g(x), v= f(x)它在0-uv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理的几何意义，存在一点（对应于参数）的导数dy恰好等于曲线端点弦AB的斜率（见下图）：dulx=5后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a − = − 几何意义 首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 u = g(x), v = f (x). 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理 恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图): d d x v u = 的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) 的导数
kAB=-(b)-T(a)g(b)-g(a)VP(g(5), f())B(g(b), f(b)A(g(a) , f(a)0u返回前页后页
前页 后页 返回 . ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a kAB − − = P(g( ), f ( )) B(g(b), f (b)) A g a f a ( ( ) , ( )) O u v • • •
证作辅助函数F(x)= f(x)- f(a) _ f(b)- f(a)(g(x) -g(a)g(b)-g(a)显然,F(x)满足罗尔定理的条件,所以存在点E(a,b), 使得 F'()=0, 即I'(5) - f(b) - f(a)g(5) = 0.g(b)-g(a)因为g()+0(否则 f()也为零,与条件(ii)矛盾),f'() _f(b)-f(a)从而g() g(b)-g(a)前页后页返回
前页 后页 返回 证 作辅助函数 ( ( ) ( )). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − − 显然, F(x) 满足罗尔定理的条件, 所以存在点 (a , b), 使得 F( ) = 0 , 即 ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − g g b g a f b f a f 因为g f ( ) 0( ( ) (iii) ), 否则 也为零,与条件 矛盾 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = 从而