S1 可微性与偏导数本节首先讨论二元函数的可微性，这是多元函数微分学最基本的概念。然后给出对单个自变量的变化率，即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起看关键性的作用一、可微性与全微分二、 偏导数三、可微性条件四、可微性的几何意义及应用前页后页返回
前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件
一、可微性与全微分定义 1 设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定义. 对于P(x,y)=(x +△x,yo +Ay) e U(P), 若 f 在P的全增量△z可表示为：Az = f(xo + △x, yo +Ay) - f(xo, yo)(1)= A△x+ B△y +o(p),其中A,B是仅与点 P 有关的常数, p=△x2+Ay2,o(p)是p的高阶无穷小量,则称f在点P可微并称(1) 式中关于△r,Ay 的线性表达式 A△x +BAy后页返回前页
前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 0 z f x y U P = ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ), = + + 若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o = + + − = + + (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数 = + x y , , o( ) 是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于 x y A x B y , 的线性表达式 +
为f 在P的全微分,记作(2)dz lp, = df(xo, yo)= AAx + BAy.由(1),(2)可见,当[△xl,lAy|充分小时,全微分dz可作为全增量△z的近似值，于是有近似公式：.(3)f(x,y) ~ f(xo,yo)+A(x -x)+B(y - yo).在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：(4)△z = AAx +BAy+αAx+βAy这里limlimβ=0.α=(△x,Ay)→(0,0)(△r,Ay) →(0,0)前页后页返回
前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 | |, | | x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y → → 这里 = = z A x B y x y = + + + , (4) 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y = = + (2) 0 为 f P 在 的全微分, 记作 可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ). + − + − (3)
例1 考察 f(x,j)= xy在任一点(xo,yo)的可微性解f 在点(xo,yo)处的全增量为Af(xo, yo) =(xo +x)(yo +Ay) -xoyo= yoAx + xoAy+ AxAy.[AxAy l1Axl 1Ayl≤p→0(p→0),由于pppp因此△xAy=o(p).从而f 在(xo,yo)可微,且d f = yoAx +xoAy后页返回前页
前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y xy x y ( , ) ( , ) . = 在任一点 的可微性 解 f 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量为 0 0 0 0 0 0 f x y x x y y x y ( , ) ( )( ) = + + − 0 0 = + + y x x y x y . 由于 | | | | | | 0 ( 0), x y x y = → → 0 0 因此 从而 在 可微 且 x y o f x y = ( ). ( , ) , d . 0 0 f y x x y = +
二、偏导数由一元函数微分学知道:若 f(x)在x,可微,则f(xo +△x) - f(xo)= A△x+o(△x), 其中 A= f'(x,).现在来讨论：当二元函数f(x,y）在点（xo,yo）可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值?为此在(4)式中先令 △y=0 (△x ≠ 0),这时得到 f关于x的偏增量为△xz,z = A△x +α△x 或=A+α.△x后页返回前页
前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 0 f x x ( ) , 在 可微 则 0 0 f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ), + − = + 其中 0 A f x = ( ). f x y ( , ) 0 0 现在来讨论: 当二元函数 在点 ( , ) x y 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令 y x f = 0 ( 0), 这时得到 关 于 的偏增量为 x . x x z z A x x A x = + = + 或