S3初等函数的连续性在学习了连续函数的定义及其一系列基本性质后，现在可以证明一个重要结论：初等函数在其有定义的区间上总是连续的。一、指数函数的连续性二、初等函数的连续性前页返回后页
前页 后页 返回 §3 初等函数的连续性 在学习了连续函数的定义及其一系 一、指数函数的连续性 二、初等函数的连续性 上总是连续的. 要结论：初等函数在其有定义的区间 列基本性质后，现在可以证明一个重 返回
一、指数函数的连续性在第一章中，我们已经定义了指数函数y=a, xeR,a>0,al,并指出它在R内是严格单调的.所以，若能证明指数函数是连续函数，那么它的反函数对数函数在其定义域内也是连续函数首先证明指数函数的一个重要性质前页后页返回
前页 后页 返回 一、指数函数的连续性 在第一章中, 我们已经定义了指数函数 y = a , x R, a 0, a 1, x 并指出它在 R 内是严格单调的. 所以, 若能证明指 首先证明指数函数的一个重要性质. 定义域内也是连续函数. 数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其
定理4.10设 a>0,a±1,α、β为任意实数，则有a"aβ=aa+β.证当α,β是有理数时,这是我们熟知的一个结果先设a>1，由定义，a*=supia"|r为有理数?r<x对于任意>0(<a~,<aβ),存在有理数r<α,2<β, 使a>aα-&, ah>aβ-ε后页返回前页
前页 后页 返回 证 当 , 是有理数时, 这是我们熟知的一个结果. sup{ | }. x r r x a a r = 为有理数 , , 1 2 a a − a a − r r 对于任意 0 ( , ) , a a 存在有理数 , r1 定理4.10 设 a 0, a 1,、 为任意实数, 则有 . + a a = a 先设 a 1, 由定义， r2 , 使
于是有(aα-)(aβ-)<ai.a" =ai+h<aα+β因为 ε是任意的,所以a°.aβ≤aα+β反之,存在有理数r(r<α+β),使a" >aα+β - &.再取有理数<α,<β,使r<r+,则a℃.aβ>a".ah =a"i+h >a" >aα+β-8,前页后页返回
前页 后页 返回 因为 是任意的, 所以 . + a a a 反之, 存在有理数 r0 (r0 + ), 使 0 . r a a + − 再取有理数 1 2 0 1 2 r r r r r + , , , 使 则, 1 2 1 2 0 = − + + a a a a a a a r r r r r 于是有 ( )( ) . 1 2 1 2 + + a − a − a a = a a r r r r
仍因ε是任意的，又得aa.aβ≥aα+β这就证明了aa.aβ =aα+β对于0<a<1的情形，只要令a就有aα .aβ=b(-α).b(-β) =b-(α+β) =aα+β后页返回前页
前页 后页 返回 仍因 是任意的, 又得 . + a a a 这就证明了 . + a a = a 对于0 a 1的情形 , 只要令 , 1 a b = 就有 . (− ) (− ) −(+ ) + a a = b b = b = a