S2连续函数的性质在本节中，我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质.熟练地掌握和运用这些性质是具有分析修养的重要标志一、连续函数的局部性质二、闭区间上连续函数的性质三、反函数的连续性四、一致连续性巡回后页前页
前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回
一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指：若函数f在点x连续（左连续或右连续），则可推知f在点x，的某个局部邻域（左邻域或右邻域）内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质后页返回前页
前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 所谓连续函数局部性质就是指: 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保
定理4.2（局部有界性）若函数f在点x，连续，则f在某邻域U(x）上有界证 因为 f 在x,连续，所以对e =1,存在d>0,当/ x- x,/<d 时,1 f(x)- f(x,)/<1,故I f(x) // f(x,) / +1.注意：我们在证明有界性时，取e=1这个特定的值而不是用术语对于任意的e>0"，这样可求得lf(x)|的一个明确的上界后页巡回前页
前页 后页 返回 故 | f (x) | 的一个明确的上界. 证 注意:我们在证明有界性时, 而不是用术语 定理4.2（局部有界性） 则
定理4.3（局部保号性）若函数f在点x，连续，且f(x,)>0(或 f(x)<0)，则对任意一个满足0<r<f(x,)或(f(x,)<-r<0)的正数 r,存在d>0, 当 xi (x,-d,x,+d) 时,(或 f(x)<-r<0),f(x)>r(证因为f 在x,连续,所以对正数e,=f(x)-r存在d>0,当 xi(x,-d,x,+d)时,有I f(x)- f(x,)/<e. = f(x)-r,前页后页巡回
前页 后页 返回 定理4.3（局部保号性） 则对任意一个满足 证
于是证得 f(x)>r>0.注 在具体应用保号性时,我们经常取r=f(xo)2定理4.4（连续函数的四则运算）若函数f(x),g(x)均在点x连续，则函数(1) f(x)+ g(x),(2) f(x)- g(x),(3) f(x) xg(x),(4) f(x)/ g(x), g(x,) 1 0在点x，也是连续的后页巡回前页
前页 后页 返回 注 在具体应用保号性时,我们经常取 于是证得 定理4.4（连续函数的四则运算）