81拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系f与f的桥梁.有了中值定理，就可以根据f在区问上的性质来得到f在该区问上的整体性质。一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别巡回后页前页
前页 后页 返回 §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理, 就可以根据 在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁. 有了 返回
一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上满足：(i)在闭区间[a,bl上连续(ii)在开区间（a,b)上可导：(ii) f(a) =f(b).那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点口使f dx)= 0.巡回后页前页
前页 后页 返回 定理6.1(罗尔中值定理) 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点 , 使 (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b)
(1)几何意义据右图，因为f (a) =f (b),B所以线段AB是水平的.由几何直观可以0看出，曲线上至少有bax一点处的切线也是水点击上图动画演示平的.巡回后页前页
前页 后页 返回 (1) 几何意义 据右图, 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 点击上图动画演示 f (a) = f (b)
(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成立.V0fx<1x,i区(a) 函数 f(x)=1 0,x=1在[0,1] 上满足条件 (i)X0黏),但条件()不满足,该数在 (0 1) 上的导数恒为1,巡回后页前页
前页 后页 返回 (2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该 函
(b) f(x)=/ xl, x1 [-1, 1l满足条件(i)和(ii),但条)却遭到破坏（f在x=0X10l处不可导）结论也不成立(c) f(x)=x, xI [0, 11 满足条件(i)和(ii),但条件遭到破坏，该函数在（0,1)X01内的导数恒为1.后页巡回前页
前页 后页 返回 满足条件 (i) 和 (iii), 但条 件 条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii) 满足 处不可导), 结论也不成立. (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1)