S3泰勒公式多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容，也是数学的研究课题之一一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用前页返回后页
前页 后页 返回 §3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 要内容,也是数学的研究课题之一. 式来逼近一般的函数是近似计算的重 返回
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式设f(x)在x=x.处可导,由有限增量公式f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+o(x -xo)当lxx.l充分小时，f(x)可以由一次多项式f(x)+ f'(x,)(x-x,)近似地代替，其误差为o(xx）.在许多情况下误差仅为o(x一x.）是不够的，而要考虑用较高次的多项式来逼近f,使得误差更小,如o(（x-x）"）后页返回前页
前页 后页 返回 设 f (x) 在 x = x0 处可导, 由有限增量公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − 当 | | x − x0 充分小时, f (x) 可以由一次多项式 ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x + f − 近似地代替, 其误差为 ( ) o x − x0 . 在许多情况下, 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) 误差仅为 o x − x0 是不够的, 而要考虑用较高次 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 0 ( ( ) ). n 如o x x −
问题：是否存在一个n次多项式P(x)，使得f(x)- P,(x) =o(x-x,)")?答案：当f(x）在点xo有n阶导数时，这样的n次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f(x)有什么关系？设则P(x)=a, +a(x-x,)+...+a,(x-x,)"返回前页后页
前页 后页 返回 问题: 是否存在一个 n次多项式 P (x), n 使得 ( ) ( ) (( ) )? n x Pn x o x xo f − = − 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n P x a a x x a x x n n = + − + + − 则 有什么关系？ 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)
P,(x) = ao, P'(x,) = a, P'(x,) = 2!a2,...p,(")(x,)=n!an,P'(x,)P'(x.)即 a, = P,(x,), a, =a2!1!p(")(x))ann!上式表明P,(x）的各项系数是由其在点xo的各阶导数所确定的设f(x）在x处n阶可导.如果后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 1 0 2 ( ) , ( ) , ( ) 2! , , P x a P x a P x a n n n = = = ( ) ! , 0 ( ) n n Pn x = n a 即 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ), , , , 1! 2! n n n P x P x a P x a a = = = ( ) 0 ( ) . ! n n n P x a n = 上式表明 Pn (x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果 导数所确定的
f(x)-P,(x)= o((x-x)"),即f(x)-P,(x)-0.lim(x-x,)"x-xo则不难得到：f(k)(xo)= Pp(k(xo), k = 0, 1, 2, .., n, (1)其中k=0表示不求导.这时称I'(x)(x-x)+..+T,(x)= f(x) +1!("(xo)(x-x)".(2)n!后页返回前页
前页 后页 返回 即 0 0 ( ) ( ) lim 0, ( ) n n x x f x P x → x x − = − 则不难得到: ( ) ( ), 0, 1, 2, , , 0 ( ) 0 ( ) f x P x k n k n k = = (1) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1! n f x T x f x x x = + − + + ( ) ( ) (( ) ), 0 n f x − Pn x = o x − x 其中k = 0 . 表示不求导 这时称 (2) ( ) 0 0 ( )( ) . ! n n f x x x n −