带有拉格朗日型余在近似计63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十三讲带有拉格朗日余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 第十三讲 带有拉格朗日余项的 泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用带有拉格朗日型余项的泰勒公式前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是有限增量公式的一个推广，它只是定性地告诉我们用泰勒多项式去替代函数，其误差为o((x -x,)").下面给出一个定量形式的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 0 (( ) ) . n ox x − 下面给出一个定量形式的泰勒公式. 们用泰勒多项式去替代函数, 其误差为 有限增量公式的一个推广, 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 它只是定性地告诉我
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用定理6.10（泰勒定理）若函数,f(x)在[a,b]上存在直到n阶连续导函数在(a, b)内存在(n+1)阶导数,则对Vx,x, E[a,b],存在(a,b),使f'(xf(x) = f(x)+1!2!(5)f(n) (xo)(x-x,)"+,(5)n!(n+1)!f(n+1)()或者 f(x)=T,(x)-ntx(n + 1)!其中T,(x)是f(x)在点x的n阶泰勒多项式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 定理6.10（泰勒定理） 若函数 f (x) 在[a,b]上存在直 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 0 0 2 00 0 () () () ( ) ( ) ( ) 1! 2! fx f x fx fx x x x x ′ ′′ = + −+ − ( ) ( 1) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , (5) ! ( 1)! n n n n f x f x x x x n n ξ + + ++ − + − + 或者 ( 1) 1 0 ( ) () () ( ) . ( 1)! n n n f fx T x x x n ξ + + =+ − + 其中Tn (x) 是 f (x) 在点 x0 的 n阶泰勒多项式. 到n 阶连续导函数, 0 则对∀ ∈ xx ab , [ , ], 存在ξ ∈( , ), a b 使 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用证 设 G(t)=(x-t)n+1f'(t(tF(t) = f(x)-[f(t)1!2!(t)t)":n!只要证明(n+)()G(x)F(x,) = f(x)- T,(x)(n+ 1)!不妨设 x>x，则F(t),G(t)在[x,xl上连续，在(xo,x)上可导,且G'(t) = -(n+1)(x -t)" + 0 , t e[xo,x)tF'(t) =x-t)" , F(x) = G(x) = 0.n!数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 证 设 2 () () () ( ) [ () ( ) ( ) 1! 2! ft f t Ft f x ft x t x t ′ ′′ = − + −+ − ( ) ]; ! ( ) ( ) n n x t n f t ++ − ( ) ( ) , +1 = − n G t x t ( , ) x0 x 上可导, 且 0 ( ) ( 1)( ) 0 , [ , ). n Gt n x t t x x ′ =− + − ≠ ∈ 不妨设 , x > x0 上连续, 0 则Ft Gt x x ( ), ( ) [ , ] 在 在 0 ( ) () () Fx fx T x = − n 只要证明 ( 1)( ) () ( ) , ! n n f t F t x t n + ′ =− − Fx Gx ( ) ( ) 0. = = 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 ( 1) 0 ( ) ( ). ( 1)! n f G x n ξ + = +
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用由柯西中值定理F(x) _ F(x)-F(x)F'()G(x)G'()G(x)-G(x)f(n+1)(3)e(x,,x)c(a,b)(n+1)!于是得到(5)n+1f(x) = T,(x)x-(n +1)!我们称24()1+R,(x) = f(x)-T,(x)(n+1)!为f(x)在点x的n阶拉格朗日型余项数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 由柯西中值定理 ( 1) 0 ( ) , ( , ) ( , ), ( 1)! n f x x ab n ξ ξ + = ∈⊂ + 于是得到 ( 1) 1 0 ( ) () () ( ) . ( 1)! n n n f fx T x x x n ξ + + =+ − + 我们称 0 0 0 0 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () () Fx Fx Fx F Gx Gx Gx G ξ ξ − ′ = = − ′ 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 0 ( ) ( 1)( ) 0 , [ , ). n Gt n x t t x x ′ =− + − ≠ ∈ ( 1)( ) () ( ) , ! n n f t F t x t n + 为 f (x′ ) 在点=− − x0 的 n 阶拉格朗日型余项 Fx Gx ( ) ( ) 0. = =. ( 1) 1 0 ( ) () () () ( ) ( 1)! n n n n f R x fx T x x x n ξ + + =− = − +