习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性第五讲习题课（一）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 习题课（一） 第五讲
习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性重要内容回顾1.罗尔中值定理：2.拉格朗日中值定理及其推论；3.函数单调性的判定：4.达布定理数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 重要内容回顾 2. 拉格朗日中值定理及其推论； 3. 函数单调性的判定； 4. 达布定理. 1.罗尔中值定理；
习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性补充例题例1 设f(x)在[a,+)上连续，在(a,+)上可导，且lim f(x)= f(a). 证明 e(a,+oo), 使得 f'()=0.证基本想法是作辅助函数，使其满足罗尔定理条件令f(+a-1), te(0,1)g(t) =t=0.f(a),易证 g(t)满足罗尔定理的条件，从而3n E(0,1), 一0,使得 g(n)=0,即 f'(+a-1)=0. 因为所以f(+a-1)=0.令 =+a-1,立即可得f'() = 0, e(a, +)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 补充例题 例1 设 fx a ( ) [, ) 在 +∞ 上连续， 1 ( 1), (0,1] ( ) t fa t g t +− ∈ = 证 在(, ) a +∞ 上可导，且 lim ( ) ( ). x fx fa →+∞ = 证明 ∃ ∈ +∞ ξ ( , ), a 使得 f ′( ) 0. ξ = 基本想法是作辅助函数，使其满足罗尔定理条件. 令 易证 g t( ) 满足罗尔定理的条件，从而 ∃ ∈η (0,1), 使得 g′( ) 0, η = 即 2 1 1 f a ( 1) 0. η η − ′ +− = 因为 2 1 0, η ≠ 所以 1 f a ( 1) 0. η ′ +− = 令 1 a 1, ξ =+− η 立即可得 f a ′( ) 0, ( , ). ξ ξ = ∈ +∞ fa t ( ), = 0
习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性例2 设f(x),g(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可导,且g(x)≠0. 证明 3e(a,b)， 使得f() - f(a) f'()g()g(b) - g()证先将上述等式变形：(f() - f(a)g'() =(g(b) -g()f'()令 F(x) =(f(x)- f(a)(g(b)-g(x)),则F(a)=F(b),且F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。根据罗尔定理，ε(a,b)，使得 F()=0.即(f() - f(a)g'() -(g(b) -g()f'() = 0移项后即得所需结论数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例2 设 f x gx a b ( ), ( ) [ , ] ( , ) 在 上连续，在 a b 上可导,且 证 证明 ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 先将上述等式变形： ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ). f f a g gb g f ξ ξ ξξ − =− ′ ′ 令 F x f x f a gb gx ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( )), =− − 则Fa Fb ( ) ( ), = 且F x ab ( ) [,] (, ) . 在 上连续,在 a b 上可导 () () () . () () () f fa f gb g g ξ ξ ξ ξ − ′ = − ′ 根据罗尔定理， 即 移项后即得所需结论. ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0. f f a g gb g f ξ ξ ξξ − −− = ′ ′ g x ′( ) 0. ≠ ∃ ∈ξ ( , ), a b 使得 F′( ) 0. ξ =
习题课S1拉格朗日定理和函数的单调性例3设f(x)在[a,bl上连续，在(a,b)上可导.证明如果 f(x)不是线性函数，则存在 i. 5, E(a,b),使得F(5)<f(b)-f(a)< f'(52).b-a分析 找一个辅助函数F(g),希望 F(x)-()-J(a)b-a恰为 F'(x), 而且 F(a)=F(b)由此就变为证明存在S,E(a,b),使得f(b)-f(a)F(s) = f'(5)-<0,b-af(b)-f(a)C> 0.F(52) = f(52)b-a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 习题课 例3 设 f x ab ( ) [, ] (, ) 在 上连续，在 a b 上可导. 分析 证明 如果 f x( ) 不是线性函数， 找一个辅助函数F (x)， () () ( ) fb fa f x b a − ′ − − 希望 而且 Fa Fb ( ) ( ). = 由此就变为证明 则存在 1, 2 ξ ξ ∈( , ), a b 使得 1 2 () () ( ) ( ). fb fa f f b a ξ ξ − ′ ′ < < − 存在 1, 2 ξ ξ ∈( , ), a b 使得 1 1 () () () () 0, fb fa F f b a ξ ξ − ′ ′ =− < − 2 2 () () () () 0. fb fa F f b a ξ ξ − ′ ′ =− > − 恰为 F x ′( )