柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限第七讲不定式极限（一）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 不定式极限（一） 第七讲 不定式极限
不定式极限62柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理不定式极限在极限的四则运算中，往往遇到分子，分母均为无穷小量（无穷大量）的表达式．这种表达式的极限比较复杂，各种结果均会发生．我们将这类极限统称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研究这类极限，这种方法统称为洛必达法则-cosxsinxlimlimxx-→02x-0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 比较复杂，各种结果均会发生. 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限 我们将这类极限统 现在我们将用柯西中值定理来研 不定式极限 0 sin lim 1, x x → x = 2 0 1 cos 1 lim . 2 x x x → − =
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限0型不定式极限0定理6.7若函数f和g满足：(i) lim f(x) = lim g(x) = O ;x-→xox→xo(i)在点x。的某空心邻域U（x)内两者均可导，且 g(x)±0 ;f'(x)lim可以为实数，±，）(iii)4g'(x)x→xo则f'(x)f(x)Alimlimg'(x)g(x)x→xox-→xo数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 定理6.7 若函数 f 和 g满足： 0 0 (i) lim ( ) lim ( ) ; 0 x x x x f x gx → → = = 0 0 (ii) ( ) 在点 x 的某空心邻域 U x 内两者均可导， 且 g x ′() ; ≠ 0 ( ) 0 ( ) (iii) lim , . ( ) x x f x A A → g x ′ = ±∞ ∞ ′ 可以为实数， 则 0 0 () () lim lim . () () x x x x fx f x A → → gx g x ′ = = ′ 0 1. 0 型不定式极限 不定式极限
不定式极限柯西中值定理S2柯西中值定理和不定式极限证 补充定义f(x)=g(x)=0,所以f,g在点x,连续任取 x EU(x,),则在区间[x,x](或[x,x,l)上应用柯西中值定理，有f(x) -f(x)- f(xo)f(5)(介于x.与 x之间)g(x)g(x)-g(xo)g()令x→x，则→x，于是有f'()f(x)(x)limlimlimAg'()g'(x)g(x)x-→xox-→xox→>xof'(x)f(x)Alimling'(x)g(x)x→xox→xo数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 ( ), x U x0 任取 ∈ 应用柯西中值定理，有 0 0 0 ( ) () ( ) ( ) ( . () () ( ) () f x fx fx f x x gx gx gx g ξ ξ ξ − ′ = = − ′ 介于 与 之间) 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 0 0 令 xx x → → , , 则ξ 于是有 证 0 0 补充定义 f x gx ( ) ( ) 0, = = 所以 f g, . 在点x0 连续 0 0 则在区间[ , ]( [ , ] ) x x xx 或 上 不定式极限 0 ( ) lim ( ) x x f g ξ → ξ ′ = ′ 0 ( ) lim . ( ) x x f x A → g x ′ = = ′ 0 0 () () lim lim . () () x x x x fx f x A → → gx g x ′ = = ′
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限注 将定理6.7中的x→x改为x→x，x→xx→+0，x→-8o 的情形,只要修正相应的邻域结论同样成立数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 x → +∞, x → −∞ 的情形,只要修正相应的邻域， 结论同样成立. 注 0 00 6.7 x x x xx x 将定理 中的 → →→ 改为 + − ，