实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性第三讲有限覆盖定理实数完备性基本定理之间的等价性数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 第三讲 有限覆盖定理 实数完备性基本定理 之间的等价性
实数完备性基本S1关于实数集完备性的基本定理区间套定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性有限覆盖定理定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间的集合(即H中的元素均为形如(α,β)的开区间).若对于任意 x E S,都存在(α,β)EH,使 x E(α,β)则称H是S的一个开覆盖若H是 S的一个开覆盖,并且H 中的元素(开区间)仅有有限个，则称H是S的一个有限开覆盖1例如H=n=1, 2,是区间(0,1)的(n+2n)一个开覆盖数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间的集合 (即 H 中的元素均为形如 ( , ) ). α β 的开区间 若对于任意 都存在 x S ∈ ∈∈ , ( , ) , ( , ), α β H x 使 α β 则称 H 是 S 的一个开覆盖. 若 H是 S 的一个开覆盖, 并且H 中的元素(开区间) 仅有有限个, 则称 H 是 S 的一个有限开覆盖. 聚点定理与有限覆盖定理 有限覆盖定理 1 1, 1, 2, (0, 1) 2 H n n n 例如 是区间 的 = = + 一个开覆盖
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.3（海涅一博雷尔有限覆盖定理）设H是闭区间[a,bl的一个开覆盖，则从H中可选出有限个开区间,构成闭区间[a,bl 的一个子覆盖证证明该定理有多种方法.这里还是运用区间套定理来证明，仍然要注意区间套的取法海涅Heine,H.E博雷尔（Borel,E.1871-1956，法国1821-1881德国）数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.3(海涅—博雷尔有限覆盖定理) 设 H是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖, 证 证明该定理有多种 海涅( Heine,H.E. 博雷尔 1821-1881,德国 ) ( Borel,E.1871-1956, 法国 ) 出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖. 要注意区间套的取法. 间套定理来证明, 仍然 方法. 这里还是运用区 则从 H 中可选 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性若定理不成立，也就是说[a,b不能被H中任何有限个开区间所覆盖.将区间[a,b等分成两个子区间那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖．设该区间为[ai,b,l，显然有[α,b] c[a,b], 并且b, -a, ==(b -a),再将[ai,b]等分成两个子区间，其中至少有一个不能被H中有限个开区间所覆盖设该区间为[a2,b2].同样有[a2,b,]c[,b], 并且b, -a, =亏(b2数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 也就是说 [a, b]不能被 H 中任何有 再将 [a1, b1] 等分成两个子区间, 将区间[a, b]等分成两个子区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有 限个开区间所覆盖. 能被 H 中有限个开区间所覆盖. 显然有 若定理不成立, 限个开区间所覆盖. [a1 , b1 设该区间为 ], 1 1 [ , ] [ , ], a b ab ⊂ 1 1 1 ( ). 2 并且b a ba −= − 其中至少有一个不 设该区间为 [a2 ,b2]. 同样有 2 2 11 [ , ] [ , ], ab ab ⊂ 22 11 1 ( ) 2 并且ba ba −= − 聚点定理与有限覆盖定理 2 1 ( ). 2 = − b a
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性将上述过程无限进行下去，可得一列闭区间[an，b,]满足下列三个性质：(i) [an+1, bn+ilc[an, b,l, n =l, 2, ...;(ii) b, -a, =(b-a) →0, n -→ o0 ;n2(iii) 对每一个闭区间[an,b,l,都不能被H 中有限个开区间所覆盖.由区间套定理，存在惟一的三，使S e[an, bl, n =1, 2, ....因ε[a,b,l,H覆盖了[a,b],故存在(α,β)εH,使ε(α,β)。 取=minβ-,α-},由定理7.1的数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 1 1 (i) [ , ] [ , ], 1, 2, ; n n nn a b ab n + + ⊂ = (iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个 满足下列三个性质: 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[, ] n n a b 1 (ii) ( ) 0, 2 n n n b a ba −= −→ n → ∞ ; [ , ], 1, 2, . n n ξ ∈ = ab n 开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的ξ , 使 1 1 因ξ ∈[ , ], a b H ab 覆盖了[ , ], 故存在(, ) , α β ∈ H 使ξ αβ ∈( , ). 取ε β ξα ξ 0 = −− min{ , }, 由定理7.1的 聚点定理与有限覆盖定理