Chapter 4 第三节曲线的凹凸性与拐点 一、曲线凹凸性及其判别法 二、拐点及其求法 三、函数作图
第三节 曲线的凹凸性与拐点 Chapter 4 一、曲线凹凸性及其判别法 二、拐点及其求法 三、函数作图
、曲线凹凸性及其判别法 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(x) y=f(x) J B A 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 Economic-mathematics 30-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、曲线凹凸性及其判别法 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(a,b内连续,如果对(a,b)内任意 两点x,x2,恒有∫(+x2f(x)+f(x2 2 2 那么称∫(x)在(a,b肭内的图形是凹的; 如果对(a,b)任意两点x1,x2,恒有 f(+2)>fx)+f(x2) 2 2 那么称f(x)在(a,b)内的图形是凸的; 如果f(x)在a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称f(x)在{a,b内的图形是凹或凸)的; Economic-mathematics 30-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 3 Wednesday, February 24, 2021 定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那么称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那么称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
定理1如果∫(x)在la,b上连续在(a,b)内具有 二阶导数,若在(a,b)内 (1)∫"(x)>0,则f(x)在{a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在|a,b上的图形是凸的 y=f B y=f(x)B 0 a b x b f(x)递增y">0 f(x)递减y"<0 Economic-mathematics 30-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 4 Wednesday, February 24, 2021 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
例1判断曲线y=x3的凹凸性 解∵y'=3x2,y"=6x, 0.2 当x<0时,y”<0, 曲线在(-∞,0为凸的; 当x>0时,y>0,∴曲线在0,+∞)为凹的 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 ● Economic-mathematics 30-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 5 Wednesday, February 24, 2021 例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点