Chapter 2 第三节函数的连续性 函数的改变量 二、函数连续性的定义 三、函数的问断点 四、初等函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质
第三节 函数的连续性 Chapter 2 一、函数的改变量 四、初等函数的连续性 三、函数的间断点 五、闭区间上连续函数的性质 二、函数连续性的定义
、函数的改变量 设函数y=f(x)在点x0的某邻域上有定义,当自变量 x由x0变到x+△x时,函数y相应由f(x0)变到 ∫(x0+△x),则称Δx为自变量的改变量,而 y=∫(x0+△x)-f(x0)为函数的改变量 y=f(r) △ △x 0 xa+△xx Economic--mathematics 19-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 2 Wednesday, February 24, 2021 x y 0 x0 x0 + x y = f (x) x y 一、函数的改变量 设函数y= f(x)在 点 x0 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 x0 变 到 x0 + x 时 ，函数 y 相 应由 ( ) x0 f 变 到 ( ) f x0 + x ，则称 x 为 自 变 量 的 改 变 量 ， 而 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f 为函数的改变量
二、函数连续性的定义 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义, 如果自变量的改变量△x=x-x趋于零时,对应的函数 改变量也趋于零,即 im△y=im[f(x0+△x)-f(x0)=0 △x→>0 △x→>0 则称函数f(x)在点x0是连续的 设x=x+△x,Ay=f(x)-f(x0 △x→>0就是x→x0,y→>0就是f(x)→f(x0) im[f(x)-f(x1)=0从而imf(x)=f(x) x→xo Economic--mathematics 19-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 3 Wednesday, February 24, 2021 , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f 定义 1 设函数y = f (x)在点 x0 的某邻域内有定义， 如果自变量的改变量x = x − x0趋于零时，对应的函数 改变量也趋于零，即 lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = + − = → → y f x x f x x x 则称函数 f (x)在点 0 x 是连续的． lim ( ) ( 0 ) 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 从而 二、函数连续性的定义
定义2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 若limf(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x处连续 单侧连续 若limf(x)=∫(x),则称函数在x处左连续, x→x0 若limf(x)=∫(x),则称函数在x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续 Economic--mathematics 19-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 4 Wednesday, February 24, 2021 定义 2 设函数 y = f (x)在点x0 的某邻域内有定义， 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ，则称函数 f (x)在点x0 处连续． 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ，则称函数在 x0 处左连续, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + ，则称函数在 x0 处右连续. 单侧连续 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x
如果∫(x)在区间(a,b)内每一点都是连续的,就称 f(x)在区间(a,b)内连续.若f(x)在(a,b)内连续,在 x=处右连续,在x=b处左连续,则称f(x)在a,b上 连续.连续函数的图形是一条连续不断的曲线 Economic--mathematics 19-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 5 Wednesday, February 24, 2021 如 果 f (x)在区间(a,b)内每一点都是连续的，就称 f (x)在区间(a,b)内连续．若 f (x)在(a,b) 内连续，在 x = a处右连续，在x = b处左连续，则称 f (x)在[a,b]上 连续. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．