拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x-8,x+)内存在二阶导 数,则点(x0,f(x)是拐点的必要条件是f(x)=0 证∵f(x)二阶可导,∴f(x)存在且连续, Economic-mathematics 30-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 6 Wednesday, February 24, 2021 二、拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( ) 0 0 " f x = . 1.定义 注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续
定理2如果f(x)在(x-8,x+6)内存在二阶导 数,则点(x0,f(x0)是拐点的必要条件是f(x)=0 证∵f(x)二阶可导,∫(x)存在且连续, 又∵(x0,f(x))是拐点 则∫"(x)=If(x)在x0两边变号, f(x)在x取得极值由可导函数取得极值的条件, f"(x)=0 Economic-mathematics 30-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 7 Wednesday, February 24, 2021 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( ) 0 0 " f x = . 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续, ( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) , f x 在x0取得极值由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0
方法: 设函数f(x)在x的邻域内二阶可导,且f"(x0)=0, (1)x两近旁"(x)变号,点(x0,f(x0)即为拐点; (2)x两近旁f(x)不变号,点(x0,f(x0)不是拐点 例f(x)=xx∈(-02+0) f(x)=4x3,f"(x)=12x2≥0f"(0)=0 但(0,0)并不是曲线f(x)的拐点 Economic-mathematics 30-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 8 Wednesday, February 24, 2021 方法: ( ) , ( ) 0, 设函数f x 在x0的邻域内二阶可导 且f x0 = (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 例 4 f (x) = x x(−,+) f (0) = 0 但(0,0)并不是曲线 f (x)的拐点. ( ) 4 , ( ) 12 0 3 2 f x = x f x = x
例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间 解∵D:( 97 y=12x3-12x2,y"=36x(x 令y”"=0,得 3 x(-∞,0)0(0 3 3 + 0 拐点 拐点 ∫(x)凹的 凸的 凹的 (0,1) 2/11 Economic-mathematics 30-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 9 Wednesday, February 24, 2021 例2 3 4 1 . 求曲线 y = x 4 − x 3 + 的拐点及凹、凸的区间 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
2.5 1 0.5 0.5 1 1.5 凹凸区间为(20,10,2323,+∞ Economic-mathematics 30-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 10 Wednesday, February 24, 2021 , ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +