Chapter 4 第一节微分中值定理 微分中值定理 罗彼塔法贝
第一节 微分中值定理 Chapter 4 一、微分中值定理 二、罗彼塔法则
、微分中值定理 1、罗尔( Rolle)定理 罗尔简介 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间a,b上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点5,使得:∫(ξ)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 在-131上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0, ∫(x)=2(x-1),取ξ=1,(l∈(-1,3)∫'(2)=0 Economic-mathematics 27-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 2 Wednesday, February 24, 2021 一、微分中值定理 1、 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)满足 （1）在闭区间 [a,b]上连续, （2）在开区间 (a,b)内可导, （3） f (a) = f (b), 那么在(a,b)内至少有一点 ,使得: ( ) 0 ' f = 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. 罗尔简介
几何解释: y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 ……-… 点C,在该点处的切线是 水平的f()=0da2bx 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结 论可能不成立 例如,f(x)=x,x∈[-2,2; f(x)在-2,2]上连续,f(-2)=f(2),f(0不存在 但在内找不到一点能使f(x)=0 Economic-mathematics 273 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 3 Wednesday, February 24, 2021 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结 论可能不成立. 例如, f (x) = x , x[−2,2]; f (x)在[−2，2]上连续，f (−2) = f (2), f (0)不存在. 但在内找不到一点能使f (x) = 0. ( ) 0 ' f =
又例如, 0.8 1-x,x∈(0,l f(r) 0.6 0,x=0 0.4 f(0)=f(1),(0,1)内可 0.2 导,但f(x)在[0,1上不连续 再如,y=x,x∈[0,1 0.8 f(x)在[0,1上连续, 0.6 (0,1)内可导但 0.4 f(0)≠∫(1), 0.2 Economic-mathematics 27-4 Wednesday, February 24, 202
Economic-mathematics 27- 4 Wednesday, February 24, 2021 • = − = 0 , 0; 1 , (0,1], ( ) x x x f x y = x, x[0,1]. 又例如, , ( ) [0 1] . (0) (1), (0,1) 导 但 在 ， 上不连续 内可 f x f = f (0) (1), (0,1) , ( ) [0 1] , f f f x 内可导 但 在 ， 上连续 再如
、微分中值定理 2、拉格朗日( Lagrange)中值定理 如果函数f(x)满足: 拉格朗日简介 (1)在闭区间|a,b上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点5,使得 ∫(b)-f(a)=f()(b-a)。 结论亦可写成f(5f(b)-f(a) b Economic-mathematics 27-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 5 Wednesday, February 24, 2021 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f ( x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续, （2）在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点 ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 。 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − 结论亦可写成 = 一、微分中值定理 拉格朗日简介