Chapter 5 第一节不定积分的概念和性质 原函数和不定积分 二、不定积分的性质 不定积分的基本公式 四、直接积分法
第一节 不定积分的概念和性质 Chapter 5 一、原函数和不定积分 三、不定积分的基本公式 二、不定积分的性质 四、直接积分法
、原函数和不定积分 定义1设f(x)是定义在某个区间上的一个函数, 如果存在一个函数F(x),使得对整个区间上都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是函数 ∫(x)在这个区间上的一个原函数 例(inx)=cosx故sinx是cosx的原函数 (nx)=1(x>0) 故Inx是在区间(0,+∞)内的原函数 Economic-mathematics 19-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 19- 2 Wednesday, February 24, 2021 例 (sin x) = cos x 故 sin x 是 cos x 的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x 故 ln x 是 x 1 在区间 (0,+) 内的原函数. 定义1 在这个区间上的一个原函数。 或 则 称 是函数 如果存在一个函数 ，使得对整个区间上都有 设 是定义在某个区间上的一个函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , f x F x f x dF x f x d x F x F x f x = = 一、原函数和不定积分
、原函数和不定积分 定义1设f(x)是定义在某个区间上的一个函数, 如果存在一个函数F(x),使得对整个区间上都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是函数 ∫(x)在这个区间上的一个原函数 例(x3)=3x2,故x3是3x的原函数 x3+C)=3x2,故x3+C也是3x2的原函数 (C为任意常数) Economic-mathematics 19-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 19- 3 Wednesday, February 24, 2021 例 定义1 在这个区间上的一个原函数。 或 则 称 是函数 如果存在一个函数 ，使得对整个区间上都有 设 是定义在某个区间上的一个函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , f x F x f x dF x f x d x F x F x f x = = ( ) 3 , 3 2 x = x ( ) 3 , 3 2 x C = x + （ C 为任意常数） 故 3 x 是 2 3x 的原函数. 故 x + C 3 也 是 2 3x 的原函数. 一、原函数和不定积分
、原函数和不定积分 关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是∫(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) HIE. [F(x)-G(x)I=F(x)-G'() f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数) Economic-mathematics Wednesday, February 24, 202
Economic-mathematics 19- 4 Wednesday, February 24, 2021 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F( x) + C 都是 f ( x) 的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) − G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) − G(x) = C （C为任意常数） 一、原函数和不定积分
、原函数与不定积分 定义2函数∫(x)的原函数的全体,称为f(x)的 不定积分,记为f(x)d 其中“「”为积分号,x称为积分变量,乘积 f(x)d称为被积表达式,f(x)称为被积函数,则有 f(x)dx= F(x)+C 其中F(x)为f(x)一个原函数,C为任意常数, 在此称为积分常数。 Economic-mathematics 19-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 19- 5 Wednesday, February 24, 2021 定义2 不定积分，记为 。 函 数 的原函数的全体，称为 的 f x d x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x d x F x C f x d x f x x = + 称为被积表达式， 称为被积函数，则有 其中“ ”为积分号， 称为积分变量，乘积 在此称为积分常数。 其 中F(x)为f (x)的一个原函数，C为任意常数， 一、原函数与不定积分