Chapter 5 第二节不定积分的计算方法 第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数积分法
第二节 不定积分的计算方法 Chapter 5 一、第一类换元积分法 三 、分部积分法 二、第二类换元积分法 四、有理函数积分法
、第一类换元积分法 (x+1)dx 利用二项展开式 ∫(x+1)0o=…若用二项展开式,计算量就很大 cos2xdxfsin 2x+C,.(sin 2x+C)=2 cos 2x, cos2xdx=sin 2x+C 事实上∫cos:xd=,sin2x+C. 2 可见,除了前面介绍的基本积分公式和不定积分的 性质外,还需要进一步研究计算不定积分的其他方法。 Economic-mathematics 48-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 48- 2 Wednesday, February 24, 2021 性质外，还需要进一步研究计算不定积分的其他方法。 可见，除了前面介绍的基本积分公式和不定积分 的 ( 1) x + 4 dx = ( 1) x + 1000dx = cos2xdx = sin2x + C, sin 2 . 2 1 事实上 cos2xdx = x + C (sin 2x + C) = 2cos2x, cos2xdx =sin2x + C, 利用二项展开式 若用二项展开式,计算量就很大. 一、第一类换元积分法
定理1设∫f(n)dm=F(u)+c,则有 fflo(x)ldp(x)=F(p(x)+C 注:1该定理将积分基本公式大大扩充了,例如: ∫ sin.xdx cosx+c →」sin(x+1)d(x+1)=-c0s(x+1)+C sin(x2+x+1)d(x2+x+1)=-c0s(x2+x+1)+C Economic-mathematics 48-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 48- 3 Wednesday, February 24, 2021 注：1.该定理将积分基本公式大大扩充了，例如： sin xdx = −cos x + C sin( x + 1)d(x + 1) = −cos(x + 1) + C sin( 1) ( 1) cos( 1) 2 2 2 x + x + d x + x + = − x + x + + C 定理1 设 f (u)du = F(u) + c，则有 f[(x)]d(x) = F((x)) + C
定理1设∫f(n)dm=F(u)+c,则有 Sflp(x)ldo(x)=F((x)+C 注:2.很多情况下要“凑微分”,例 如: sin(x +1)dx=sin(x+1)d(x+1)=-cos(x+1)+C ∫cos2xx= cos2xd2x =-sin 2x+C 2 所以,第一类换元积分法也叫凑徼分法 Economic-mathematics 48-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 48- 4 Wednesday, February 24, 2021 注：2. 很多情况下要“凑微分”，例 如： sin( x + 1)dx = sin( x + 1)d(x + 1) = −cos(x + 1) + C xdx = x d x = sin 2x + C 2 1 cos2 2 2 1 cos2 定理1 设 f (u)du = F(u) + c，则有 f[(x)]d(x) = F((x)) + C. 所以，第一类换元积分法也叫凑微分法
定理1设∫f(n)dm=F(u)+c,则有 Sflp(x)ldo(x)=F((x)+C ∫8(x)=∫lp(x)lp(x)d=J)p(x) l=(x) If(u)du= F(u)+C=F((x)+C 说明:使用此公式的关键在于将 ∫g(x)dc化为∫g(x)p(x)t Economic-mathematics 48-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 48- 5 Wednesday, February 24, 2021 f[(x)](x)dx = f u du F u C u x ==== = + = ( ) ( ) ( ) g(x)dx = 说明：使用此公式的关键在于将 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx g(x)dx f[(x)]d(x) = F((x)) + C. 定理1 设 f (u)du = F(u) + c，则有 f[(x)]d(x) = F((x)) + C