Chapter 2 第三节函数的微分 微分的概念 、微分的计算 三、微分的近似计算
第三节 函数的微分 Chapter 2 一、微分的概念 三、微分的近似计算 二、微分的计算
、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x0+Ax, △(Ax)2 20 △x 正方形面积A= △A=(x0+△x)2-x2 A=x02 =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Δx的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 Economic-mathematics 18-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 2 Wednesday, February 24, 2021 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到 x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 一、微分的概念
再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量Ay △y=(x+△x)3-x0 =3x2,Ax+3xn·(△x)2+(△x) (2) (1):△x的线性函数,且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 ∴4y≈3x0·△x.既容易计算又是较好的近似值 Economic-mathematics 18-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 3 Wednesday, February 24, 2021 再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 3 . 2 0 y x x 既容易计算又是较好的近似值 x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2):
定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及 xo+△x在这区间内,如果 Ay=f(x0+△x)-∫(x0)=A·△x+o(△x) 成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y=f(x) 在点x可微,并且称A△x为函数y=f(x)在点x 相应于自变量增量Ax的微分,记作 dx=或刂(x,即x=xn=A△x 微分叫做函数增量Ay的线性主部(微分的实质) Economic-mathematics 18-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 4 Wednesday, February 24, 2021 定义 ( ), . , , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d y d f x d y A x x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x x x y f x x x x x x = = = = + − = + + = = 或 即 = 相应于自变量增量 的微分 记 作 在 点 可 微 并且称 为函数 在 点 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
4=f(x+△x)-f(x0)=AAx+0(△x,dx==A△x 由定义知: (1)是自变量的改变量x的线性函数 (2)Δy-dy=0(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,与4y是等价无穷小; ,s1+O(△x) →>1(x→>0) 4·△ (4)当△x很小时,≈(线性主部 (5)A是与x无关的常数但与f(x)和x0有关; Economic-mathematics 18-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 5 Wednesday, February 24, 2021 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (5) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (4)当x很小时,y dy (线性主部). ( ) ( ) ( ), . 0 0 0 y f x x f x A x o x dy A x = + − = + x= x =