Chapter 4 第二节函数的单调性、极值、 取 值 函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值
第二节 函数的单调性、极值、 最值 Chapter 4 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值
函数的单调性 B y=f(r) y=f(r) B b f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数f(x)在(a,b)内可导,则 (1)若x∈(a,b时恒有f(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调增加; (2)若x∈(a,b)时恒有f(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调减少 Economic-mathematics 25-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、函数的单调性 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A (2) ( , ) ( ) 0 ( ) ( , ) . (1) ( , ) ( ) 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) , 若 时 恒 有 ， 则 在 内单调减少 若 时 恒 有 ， 则 在 内单调增加； 设函数 在 内可导 则 x a b f x f x a b x a b f x f x a b f x a b 定理
例1讨论函数y=ex-x-1单调性 解∵y′=ex-1.又:D:(-∞,+0) 2 在(-∞,0内,y<0 函数单调减少; 在(0,+∞肭内,y>0,∴函数单调增加 注意区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,y1x=0,但在(-∞,+∞)上单调增加 Economic-mathematics 25-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 3 Wednesday, February 24, 2021 例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 又D :(−,+). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加
例2确定函数f(x)=2x32-9x2+12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+0) f(x)=6x2-18x+12 =6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x1=1,x2=2 X 0.511.522.5 当-∞<x<1时,f(x)>0,∴在(-∞,1上单调增加; 当1<x<2时,f(x)<0,∴在1,2上单调减少; 当2<x<+∞时,f(x)>0,∴在[2,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,1[,2l[2,+∞) Economic-mathematics 25-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 4 Wednesday, February 24, 2021 例2 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数 f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程 f (x) = 0得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数∫(x)=3x2的单调区间 解 ∵D:(-∞,+∞) f(x)= 2 (x≠0) y= 当x=0时,导数不存在 (-∞,0] 0,+∞) ∫(x) f(x) 列 Economic-mathematics 25-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 5 Wednesday, February 24, 2021 例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. f (x) (−, 0 ] [ 0, + ) 3 2 y = x f (x) x + _ ↘ ↗