例7设r(x,y,2)=√x2+y2+x2。求, 解 ar 看成常量 ar 2x2+y2+z y看成常量 x++Z
例 7 设 2 2 2 r(x, y,z) = x + y + z 。求 , xr . zr 解 = xr 2 2 2 y 、 z看成常量 2 2 x y z x + + 2 2 2 x y z x + + = . rx = = zr 2 2 2 2 2 x y z z + + 2 2 2 x y z z + + = . rz = x 、 y看成常量
3、偏导数存在与连续的关系 元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在连续。 +y2≠0, 例如,函数f(x,y) x2+y2=0 依定义知在(0,0)处,f2(0,0)=f,(0,0)=0 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续
３、偏导数存在与连续的关系 例如，函数 + = + = + 0, 0. , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y , 依定义知在(0, 0)处， (0, 0) = (0, 0) = 0 x y f f . 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续。 连续
4、偏导数的几何意义 设M0(x,y0,f(x0,y0)为曲面z=f(x,y)上一点 如图 z=f(,yo) f(os y)
4、偏导数的几何意义 ( , , ( , )) ( , ) , 设 M0 x0 y0 f x0 y0 为曲面 z = f x y 上一点 如图 Tx Ty M0 ( , ) 0 z = f x y ( , ) 0 z = f x y
几何意义 偏导数f2(x0,y)就是曲面被平面y=y0所截得的 曲线在点M0处的切线M0T对x轴的斜率 偏导数/(x0就是曲面被平面=x所截得的 曲线在点M处的切线对轴的斜率
偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 就是曲面被平面 0 y = y 所截得的 曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率. 偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 就是曲面被平面x = x0所截得的 曲线在点M0处的切线M0Ty对 y轴的斜率. 几何意义:
三、可微的条件 定理1(可微分必要条件)如果函数z=f(x,y)在 点(x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏 导数O20必存在,且函数z=f(x ax a 在点(x,y)的全微分为 OL- AT Oy dz. ox 0△y 03- dx+ ay o2 dy △x=d △y=dy
三、可微的条件 定 理 1（可微分必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在 点( x, y)可微分，则该函数在点( x, y)的 偏 导 数 x z 、 y z 必存在，且函数z = f ( x, y) 在 点( x, y)的全微分为 y. y z x x z dz + = . , y dy x dx = dy. = y z dx x z dz + =