证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分 P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 总成立, 特别地,当Ay=0时,上式仍成立, 此时= f(x+△x,y)=f(x,y) 0(△xD) lin f(x+△x,y)-f(x,y) In △x→>0 △x =A=0z 同理可得B=0z
证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y) P的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 特别地，当y = 0时，上式仍成立， 此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B =
元函数在某点的导数存在<微分存 在 多元函数的各偏导数存在 全微分存 在 x- 例如,y)=1√x2+y xty 在点(0,0)处有 0. △z-1J(0,0)·△x+f(00)·4y (△x)2+(△p)2 如果考虑点P(△x,y)沿着直线y=x趋近于(0,0)
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y 在点(0, 0)处有 (0, 0) = (0, 0) = 0. x y f f 微分存 在． 全微分存 在． z [ f (0,0) x f (0,0) y] − x + y , ( ) ( ) 2 2 x y x y + = 如果考虑点P(x,y)沿着直线 y = x 趋近于(0, 0)
△x·△y (△x)2+(△Ay)2 △x.△x 则 (△x)2+(△x 说明它不能随着而趋于0,即,当p→0时, △z-1fx(0.0) →0 即△z-1f 函数在点(0,0)处不可微 说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在
则 2 2 ( x) ( y) x y + 2 2 ( x) ( x) x x + = , 2 1 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 即，当 → 0时， 2 1 [ (0,0) (0,0) ] = − + z f x f y x y 函数在点 (0, 0) 处不可微. z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(), 即 − x + y 0 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在
定理2(可微分的充分条件)如果函数z=f(x,y) 的偏导数、∝在点(x,y)连续,则该函 数在点可微分 证略。 dz dx+ O y 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
定理２（可微分的充分条件）如果函数z = f (x, y) 的偏导数 x z 、 y z 在 点(x, y)连续，则该函 数在点( x, y)可微分． 证略。 dy. y z dx x z dz + = 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
dx+sdi ax O 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ou dx+ ou dy+ ou OZ
dy. y z dx x z dz + = 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 dz. z u dy y u dx x u du + + = 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．