《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学

例5已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常 数),求证:Op.T=-1 O RT 证 RT T R aV aT RT R aT ap 2 R R p

例 5 已知理想气体的状态方程 pV = RT （R为常 数），求证： = −1         p T T V V p . 证 =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =         p T T V V p 2 V RT − p R R V  = −1. pV RT = −

有关偏导数的几点说明: 偏导数是一个整体记号,不能拆分; 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;

偏导数 x u   是一个整体记号，不能拆分; 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

+y2≠0 例6设f(x,y) 2 r ty x-+ 求x(x,y)/(x,y) 解(1 fr(x,y) +y2≠0时,即x≠0且时 f y(x2+ (x2+

例 6 设      + = +  = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 。 求 f (x, y), f (x, y). x y 解 当 x 2 + y 2  0时， 即 x  0且 y  0时， x x x y xy f x y         + = 2 2 ( , )  2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y y x y x xy +  + −  = , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x y y y x + − = (1) f (x, y). 先求 x

考虑点(0,0)对x的偏导数, imn(0+△x,0)=/(0.0)=im0=0=0 △x->0 于是,y)=1(x2+y22 v(y 0 0 (2) 0时 0且 f(x,y) x2+y2)-2yx x x-+

x f x f x  +  −  → (0 , 0) (0, 0) lim 0 0. 0 0 lim 0 =  − = x→ x 于是，      + = +  + − = 0, 0. , 0, ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y y y x f x y x 考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数， 当 x 2 + y 2  0时， 即 x  0且 y  0时， y y x y xy f x y         + = 2 2 ( , )  2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y x x y y xy +  + −  = (2) f (x, y). 求 y

考虑点(0,0)对x的偏导数, lin △y)-f(0,0 lim △y=0△y 2 CoX 于是,(xy)=1(x2+y 2、2

, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x y x x y + − = y f y f y  +  −  → (0, 0 ) (0, 0) lim 0 0. 0 0 lim 0 =  − = y→ y 于是，      + = +  + − = 0, 0. , 0, ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x x y f x y y 考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数