《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学

由偏导数的定义可知,偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求 o时,只要把x之外的其他自变量暂时看成 ax 常量,对x求导数即可。 求时,只要把y之外的其他自变量暂时看成 常量,对y求导数即可。 其它情况类似

由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求 时， x f   只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 求 时， y f   只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似

例1求z=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数 解 2x+3y 看成常量 a= 3x+2y. 看成常量 OZ a1=2×1+3×2=8 3×1+2×2=7 O 例2求z=x2sin2y的偏导数 解=2xsin2y 把y看成常量 Oy 2x cosy 把x看成常量

例 1 求 2 2 z= x +3xy+ y 在点(1, 2)处的偏导数． 解 =   x z 2x+3 y; =   y z 3x+2 y. =   = = 2 1 y x x z 21+32=8, =   = = 2 1 y x y z 31+22=7. 把 y 看成常量 把 x 看成常量 例 2 求z x sin2 y 2 = 的偏导数． 解 =   x z 2xsin2 y; =   y z 2 cos2 . 2 x y 把 y 看成常量 把 x 看成常量

例3设z=x(x>0,x≠ 1),求证x0+12=2z y ax Inx a 证 ax x. x a xy+ X y Ox Inx ay y Inx 2 原结论成立

例 3 设 y z= x (x0,x1)，求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x =2z. 原结论成立．

例4设z= arcsin 求 ax a vx+y 解 2 X (y2=yD xty

例 4 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z 2 2 3 2 2 2 ( ) | | x y y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y x x y x x y x         +  + − 2 2 2 2 2 1 1 

x+J y son (y≠0) apx≠0 不存在

=   y z 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = y x y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在． y x y x x y x         +  + − 2 2 2 2 2 1 1 