函数若在某区域D内各点处处可微分,则称这函数 在D内可微分 如果函数=f(xy)在点(xy)可微分,则函数在该 点连续 事实上△ im△z=0, →>0 imf(x+△ y)+△乙 △x->0 △y->0 f(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该 点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0 = → z lim ( , ) 0 0 f x x y y y x + + → → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
偏导数的定义及其计算法 定义设函数=f(x,y)在点(x00)的某一邻域内有 定义,当y固定在y而x在x处有增量△时, 相应地函数有增量 函数对x的偏增量 f(x0+△x,y0)-f(x0,y0) 如果imn/(a x0+△x,y0)-f(x0,y0 存在,则称 △x->0 △x 此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的 偏导数,记为 O ax x=xo ax x= ,zxx=x或f(x0,y0) y=yo y=J
定 义 设函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有 定义，当 y固定在 0 y 而x在x0处有增量x时 ， 相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x +x y − f x y ， 如 果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 处 对x的 偏导数，记为 二、偏导数的定义及其计算法 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 函数对 x 的偏增量
O lim f(x0+△x,y0)-f(x0y0) ax|x=x0△x0 y=yo 同理可定义函数=f(xy)在点(x1y)处对y的偏导 数为 li 记为2 或/(x010) Oy
同理可定义函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 处 对 y的偏导 数 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记 为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y z y x x = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . . ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x y f x y x f x y y x x + − = → = =
如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的 偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数,记作 0z或/(xy) ax’ax 同理可定义函数 对自变量的偏导数,记作 az af 或(
如果函数z= f (x, y)在区域D内任一点(x, y)处 对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、 y的函数， 它就称为函数z= f (x, y)对自变量x的偏导数，记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可定义函数z= f (x, y)对自变量 y的偏导数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如, fr(,3,)=m G x+△y3)-/(x,y,x) f(x,y,2 y,) 2(x,yx)=m、(x,yx+△z)-f(xyx)
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如，u= f (x, y,z), 在(x, y,z)处， , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →