余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理12.1.3函数的Fourier级数展开定理1（Dirichlet）设函数f(α）以2元为周期1°如果函数在任何有限区间上是逐段光滑的，则它的Fourier级数在整个数轴上都收敛，且f(α + 0) + f(α - 0)ao(an cos na + bn sin na) = f22n=12°如果函数处处连续，且在任何有限区间上是逐段光滑的，则其Fourier级数就在整个数轴上绝对一致收敛于f(c）注，这里所谓函数f(α）在有限区间上逐段光滑是指函数除有限个点外f(α)连续且有连续的微商f'(α),而这有限个点只能是 f(a)或f'(α)的第一类间断点，返回全屏关闭退出II1/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª 12.1.3 ¼ê Fourier ?êÐm ½n 1 (Dirichlet) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 1 ◦ XJ¼ê3?Ûk«mþ´Åã1w, K§ Fourier ?ê3 ê¶þÑÂñ, a0 2 + X ∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) = f(x + 0) + f(x − 0) 2 ; 2 ◦ XJ¼ê??ëY, 3?Ûk«mþ´Åã1w, KÙ Fourier ? êÒ3ê¶þýéÂñu f(x). 5, ùp¤¢¼ê f(x) 3k«mþÅã1w´¼êØk: , f(x) ëY këYû f 0 (x), ùk:U´ f(x) ½ f 0 (x) 1 amä:. 1/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例1设—≤<0f(), 0≤<元根据前面的例子，有(-1)n+1(-1)n- 1f(a)～+(1)sinnacosna+n2元n2.由收敛性定理知，在区间（一π，元）中上式应为等式.取=0,得8(-1)n - 1TZ= 0,十4n2元n=1即,8721Z8(2n - 1)2n=返回全屏关闭退出II2/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 1 f(x) = ( 0, −π 6 x < 0 x, 0 6 x < π âc¡~f, k f(x) ∼ π 4 + X ∞ n=1 (−1)n − 1 n2π cos nx + (−1)n+1 n sin nx . (1) dÂñ5½n, 3«m (−π, π) ¥þªA ª. x = 0, π 4 + X ∞ n=1 (−1)n − 1 n2π = 0, =, X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 = π 2 8 . 2/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理进一步,有XX2=2K(2n)2=X(2n - 1)2 +224n=1n=1-n=于是有8721Zn26n=18(-1)n-1V又因为绝对收敛，所以n2n=188X-1)n-11ZZZ二(2n)2n2(2n - 1)2n=1n=1n元1Rα72元2111Z18n28446n=1之12II返回全屏关闭退出3/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ?Ú, k X ∞ n=1 1 n2 = X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 + X ∞ n=1 1 (2n) 2 = π 2 8 + 1 4 X ∞ n=1 1 n2 . u´k X ∞ n=1 1 n2 = π 2 6 . qÏ X ∞ n=1 (−1)n−1 n2 ýéÂñ, ¤± X ∞ n=1 (−1)n−1 n2 = X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 − X ∞ n=1 1 (2n) 2 = π 2 8 − 1 4 X ∞ n=1 1 n2 = π 2 8 − 1 4 · π 2 6 = π 2 12 . 3/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理在 (1) 中取α =得X-1)n-1)n-1nTnTT一π-4+Z+sincOS十2'n2元22nn=1因而81(2n - 1)元元Zsin4'22n -.1n=1即8-1)n-1TZ42n - 1n=l返回全全屏关闭退出4/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª 3 (1) ¥ x = π 2 π 4 + X ∞ n=1 (−1)n − 1 n2π cos nπ 2 + (−1)n−1 n sin nπ 2 = π 2 , Ï X ∞ n=1 1 2n − 1 sin (2n − 1)π 2 = π 4 , = X ∞ n=1 (−1)n−1 2n − 1 = π 4 . 4/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复数形式Dirichlet收敛定理余弦级数正弦级数当f(α)是[一π,] 上的偶函数时,f(α）以2元为周期延拓到（一80,十)之后也是偶函数，此时bn=_ [" f(α) sinnc dc = 0 (n = 1, 2, :)元-7因此f(aα）的Fourier级数为8ao2an cosn,2n=1其中2f(c) cos nc dc.an=π Jo这种形式的三角级数称为余弦级数返回全屏关闭退出二5/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª f(x) ´ [−π, π] þó¼ê, f(x) ± 2π ±Ïòÿ (−∞, +∞) ´ó¼ê, d, bn = 1 π Z π −π f(x) sin nx dx = 0 (n = 1, 2, · · ·). Ïd f(x) Fourier ?ê a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx, Ù¥ an = 2 π Z π 0 f(x) cos nx dx. ù«/ªn?ê¡{u?ê. 5/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ