Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamm-Lebesgue引理12.1.6Fourier级数的收敛性定理1（Dirichlet）设函数f(α）以2元为周期1°如果函数在任何有限区间上是逐段光滑的，则它的Fourier级数在整个数轴上都收敛，且f(α + 0) + f(α - 0)ao(an cos na + bn sin na) = f22n=12°如果函数处处连续，且在任何有限区间上是逐段光滑的，则其Fourier级数就在整个数轴上绝对一致收敛于f(αc)注，这里所谓函数f(α）在有限区间上逐段光滑是指函数除有限个点外f(α)连续且有连续的微商 f'(α),而这有限个点只能是 f(a)及f'(α)的第一类间断点返回全屏关闭退出II1/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K 12.1.6 Fourier ?êÂñ5 ½n 1 (Dirichlet) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 1 ◦ XJ¼ê3?Ûk«mþ´Åã1w, K§ Fourier ?ê3 ê¶þÑÂñ, a0 2 + X ∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) = f(x + 0) + f(x − 0) 2 ; 2 ◦ XJ¼ê??ëY, 3?Ûk«mþ´Åã1w, KÙ Fourier ? êÒ3ê¶þýéÂñu f(x). 5, ùp¤¢¼ê f(x) 3k«mþÅã1w´¼êØk: , f(x) ëY këYû f 0 (x), ùk:U´ f(x) 9 f 0 (x) 1 amä:. 1/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamn-Lebesgue引理设f(α）是「一π，元l上可积或绝对可积函数，an,bn是f的Fourier系数即8ao(an cos na + bn sin n)f(α)2n=1在co点，Fourier级数的部分和为naoZTn(co) =ak cos kco + bk sin kco)2k=1将Fourier系数的表达式1.1f(α) cos k da,f(α) sin ka da,bkak=元元7代入部分和中，可得返回全屏关闭退出I4-2/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K f(x) ´ [−π, π] þȽýéȼê, an, bn ´ f Fourier Xê, = f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx + bn sin nx . 3 x0 :, Fourier ?êÜ©Ú Tn(x0) = a0 2 + X n k=1 ak cos kx0 + bk sin kx0 . ò Fourier XêLª ak = 1 π Z π −π f(x) cos kx dx, bk = 1 π Z π −π f(x) sin kx dx, \Ü©Ú¥, 2/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Riemamm-Lebesgue引理Dini定理问题Dirichlet收敛定理n1DTn(co)f(α)( cos ka cos kao + sin ka sin kao)dcf(α)dc +2元k=nZf(α)cos k(α - co)da.2元k=1n1Zcos ka,即,记 Kn(α)2k=1sin (n + )aKn(α) =，a≠2m元,mEZ(12.1)2sin%2称为Dirichlet核函数，是一个以2元为周期的偶函数引理1（Riemann-Lebesgue）设f(α）是[a,b]上可积或绝对可积函数(即若f有界.则 f Riemann 可积：若f 无界,则Lfl广义可积),则有-66limlimf(α) sin Aa dc = 0.f(α) cos ^ dc = 0,1→+0-+8I--返回全屏关闭退出3/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K Tn(x0) = 1 2π Z π −π f(x)dx + X n k=1 1 π Z π −π f(x) cos kx cos kx0 + sin kx sin kx0 dx = 1 π Z π −π f(x) 1 2 + X n k=1 cos k(x − x0) ! dx. P Kn(x) = 1 2 + X n k=1 cos kx, =, Kn(x) = sin (n + 1 2 )x 2 sin x 2 , x 6= 2mπ, m ∈ Z (12.1) ¡ Dirichlet ؼê, ´± 2π ±Ïó¼ê. Ún 1 (Riemann-Lebesgue) f(x) ´ [a, b] þȽýéȼê(=, e f k., K f Riemann È; e f Ã., K |f| 2ÂÈ), Kk lim λ→+∞ Z b a f(x) cos λx dx = 0, lim λ→+∞ Z b a f(x) sin λx dx = 0. 3/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理1Tn(αo)f(α)Kn(α - o) dc元0+元1f(α)Kn(α - αo) dac元30一元f(α + co)Kn(α) dacT241f(α + co)Kn(α) dcf(α + ao)Kn(α) d +元11f(α + co)Kn(α) da +f(- + co)Kn(α) dc,元元JoJo所以f(co + α) + f(co - α)Tn(co)sin(n(12.2)d2 sin T0返回全屏关闭退出4/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K Tn(x0) = 1 π Z π −π f(x)Kn(x − x0) dx = 1 π Z x0+π x0−π f(x)Kn(x − x0) dx = 1 π Z π −π f(x + x0)Kn(x) dx = 1 π Z π 0 f(x + x0)Kn(x) dx + 1 π Z 0 −π f(x + x0)Kn(x) dx = 1 π Z π 0 f(x + x0)Kn(x) dx + 1 π Z π 0 f(−x + x0)Kn(x) dx, ¤± Tn(x0) = 1 π Z π 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx. (12.2) 4/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理Dini定理取充分小的正数8.将（11.2）式右端的积分分为两个部分，有111F(c,ao)sin(n +=)adac +F(a, co) sin(n + =)adacTn(Co) =2TJo元J8(12.3)其中f(co +α)+ f(αo - cF(c, co) :=2 sin号在[8,元]上可积或绝对可积.由Riemann-Lebesgue引理（即，引理1)知(11.3）式右端第二个积分当n→+o时极限为0.因此f(α）的Fourier级数在co是否收敛，以及收敛到什么值只与积分1 r° f(co +a) +f(ao -a)(12.4)sin(n + =)a dac22sin元Jo有关由于（11.4）式的积分只与f在Co附近的值有关，因此我们得到下面局部化定理关闭退出返回全屏二5/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ¿©ê δ, ò (11.2) ªmàÈ©©üÜ©, k Tn(x0) = 1 π Z δ 0 F(x, x0) sin(n + 1 2 )x dx + 1 π Z π δ F(x, x0) sin(n + 1 2 )x dx (12.3) Ù¥ F(x, x0) := f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 3 [δ, π] þȽýéÈ. d Riemann-Lebesgue Ún(=, Ún 1) (11.3) ª mà1È© n → +∞ 4 0. Ïd f(x) Fourier ?ê3 x0 ´ ÄÂñ, ±9ÂñoÈ© 1 π Z δ 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx (12.4) k'. du (11.4) ªÈ© f 3 x0 NCk', Ïd·e¡Û Üz½n. 5/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ