梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符梯度、散度、旋度g11.6场是从大量物理现象中抽象出来的物理概念.分两类：向量场和数量场向量场刻画的是那些既有大小又有方向的量.如引力场、流速场、电场磁场等数量场刻画的是只有大小没有方向的量，如电位场、温度场在数学上我们用向量表示既有大小又有方向的量：因此，空间区域V中的向量场，可以看成是定义在V上的一个三元向量值函数π=(M)(M E V).数量场只有大小,在数学上可以用三元函数 u = u(M)(M E V)表示.选定了空间坐标系，点M就可以用三元坐标（c,y,z）表示.向量场和数量场就可分别表示成 π= (c,y,z)和 u= u(α,,z). 选择不同的坐标系一般场的表达形式也不一样，但不会改变场的物理特性返回全屏关闭退出+1/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î §11.6 FÝ!ÑÝ!^Ý |´lþÔny¥ÄÑ5ÔnVg. ©üa: þ|Úêþ|. þ|x´@ Qkqkþ. XÚå|!6|!>|! ^| . êþ|x´kvkþ. X> |!§Ý|. 3êÆþ·^þL«Qkqkþ. Ïd, m« V ¥þ|, ±w¤´½Â3 V þnþ¼ê ~r = ~r(M) (M ∈ V ). êþ|k, 3êÆþ±^n¼ê u = u(M) (M ∈ V ) L«. À½ mIX, : M Ò±^nI (x, y, z) L«. þ|Ú êþ|Ò©OL«¤ ~r = ~r(x, y, z) Ú u = u(x, y, z). ÀJØÓIX, |L/ªØ, جUC|ÔnA5. 1/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符11.6.1数量场的梯度对于DCR3上定义的一个光滑数量场f =f(α,y,z),其三个偏导数组成的向量grad f = fi + f3 +fkara8.称为f 的梯度.设e= cosαi+ cosβi+ cosk是一个用方向余弦表示的单位方向,函数f(α,y,z)沿该方向的导数为% = % cos a + % cos β+ I cos = grad f .=8-由此可知，沿梯度方向函数值的变化最快梯度实际上是一个从数量场到向量场的映射grad：f →gradf,满足1° grad(ciu1 + C2u2) = Ci grad u1 + C2 grad u2, 其中 ci, C2 是任意常数2° grad(uiu2) = ui grad u2 + u2 grad ui3° grad f(u) = f'(u) grad u返回全屏关闭退出1I4I2/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î 11.6.1 êþ|FÝ éu D ⊂ R3 þ½Â1wêþ| f = f(x, y, z), Ùn ê |¤þ grad f = ∂f ∂x ~i + ∂f ∂y ~j + ∂f ∂z ~k ¡ f FÝ. ~e = cos α~i + cos β~j + cos γ~k ´^{uL«ü , ¼ê f(x, y, z) ÷Tê ∂f ∂~e = ∂f ∂x cos α + ∂f ∂y cos β + ∂f ∂z cos γ = grad f · ~e. dd, ÷FݼêCz¯. FÝ¢Sþ´lêþ|þ|N grad : f 7−→ grad f, ÷v 1 ◦ grad(c1u1 + c2u2) = c1 grad u1 + c2 grad u2, Ù¥ c1, c2 ´?¿~ê. 2 ◦ grad(u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1. 3 ◦ grad f(u) = f 0 (u) grad u. 2/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符例1求数量场等值面的法向解设 =f(c,y,z)是一个光滑数量场.对于常数 c,方程f(c,y,z) = c表示一个等值面.假设这个等值面的参数方程为r(u, v) = (αc(u, v),y(u, v), z(u, v)), (u, v) E D,则在等值面上有f(c(u, v), y(u, v), z(u, v)) = c.对此求偏导数，得afau+gu+%2= 0,ara',+%u +%,= 0,COa~也就是grad f.r, = 0,grad f .r, = 0.x平行因此梯度gradf与法向π=FXT返回全屏关闭退出I-3/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î ~ 1 ¦êþ| ¡{. ) ϕ = f(x, y, z) ´1wêþ|. éu~ê c, § f(x, y, z) = c L« ¡. bù ¡ëê§ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, K3 ¡þk f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = c. éd¦ ê, ∂f ∂xx 0 u + ∂f ∂yy 0 u + ∂f ∂z z 0 u = 0, ∂f ∂xx 0 v + ∂f ∂yy 0 v + ∂f ∂z z 0 v = 0, Ò´ grad f · ~r0 u = 0, grad f · ~r0 v = 0. ÏdFÝ grad f { ~n = ~r0 u×~r0 v |~r0 u×~r0 v | ²1. 3/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符例 2 设 r = (α, y, z), r = [rl = Vα2 + y2 + z2. 求 grad rT，=,=,所以解 因为器=C1r，dy2+2+zrgrad r =r例3放置在原点的电荷g产生的电位场是=%,这里r是点π=(αc,y,z) 到原点的距离, 即, r = Vα2 +y2 + z2. 求 在空间任意一点 (不是原点）处的梯度及沿方向π的变化率解由梯度的运算性质得rgrad p = q grad =grad r =qm3agradr返回全屏关闭退出4/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î ~ 2 ~r = (x, y, z), r = |~r| = p x2 + y2 + z 2 . ¦ grad r. ) Ï ∂r ∂x = √ x x2+y2+z 2 = x r , ∂r ∂y = y r , ∂r ∂z = z r , ¤± grad r = ~r r . ~ 3 3:>Ö q )> |´ ϕ = q r , ùp r ´: ~r = (x, y, z) :ål, =, r = p x2 + y2 + z 2 . ¦ ϕ 3m?¿: (Ø´ :) ?FÝ9÷ ~r CzÇ. ) dFÝ$5 grad ϕ = q grad 1 r = q · (− 1 r 2 ) grad r = −q ~r r 3 . ∂ϕ ∂~r = grad ϕ · ~r r = −q 1 r 2 . 4/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符11.6.2向量场的散度设F=（P,Q,R)是空间中一个光滑向量场，不妨认为是流速场，S是场中一个封闭曲面，方向指向外侧，则通量N =db F.ndsJs表示在流速场的作用下，单位时间内流过曲面S的流体的流量.设（V）表示S所围成的区域V的体积，则m#is表示单位时间内单位体积上流过体表面的流量当S缩成一点M时：若极限工db F.ndslimAVX1S-MAVAS存在,就称此极限为向量场F在M处的散度，记为divF(M)返回全屏关闭退出二、5/28
FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton Î 11.6.2 þ|ÑÝ F~ = (P, Q, R) ´m¥1wþ|, Ø@´6|, S ´| ¥µ4¡, ý, KÏþ N = ✍ S F~ · ~ndS L«36|^e, ü mS6L¡ S 6N6þ. σ(V ) L « S ¤¤« V NÈ, K 1 σ(V ) ✍ S F~ · ~ndS L«ü mSü NÈþ6LNL¡6þ. S ¤: M , e4 lim S→M 1 ∆V ✍ S F~ · ~ndS 3, Ò¡d4þ| F~ 3 M ?ÑÝ, P div F~(M). 5/28 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ