三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式微分形式的积分和恰当微分形式$11.7三维空间微分形式的积分11.7.11. 设有区域 D C R2,连续向量场 F =(P,Q,R)：D → R3.又设L D是一条有向光滑曲线,其参数方程为 π=T(t),α≤t≤ β,并且参数增加的方向为L的方向，则有F. dr=(F oT) . T(t)dt.Pd + Qdy + Rdz :TI记w=Pdc+Qdy+Rdz，它是定义在D上的一个一次微分形式.上式可以写成(F o) . r(t) dt.(11.1)返回全屏关闭退出1/14
n/ n / Stokes úª T©/ª §11.7 ©/ªÈ©ÚT©/ª 11.7.1 nm©/ªÈ© 1. k« D ⊂ R3 , ëYþ| F~ = (P, Q, R) : D → R3 . q L ⊂ D ´^k1w, Ùëê§ ~r = ~r(t), α 6 t 6 β, ¿ ëê O\ L , Kk ✂ L P dx + Qdy + Rdz = ✂ L F~ · d~r = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. P ω = P dx + Qdy + Rdz, §´½Â3 D þg©/ª. þª ±¤ ✂ L ω = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. (11.1) 1/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式2.设有区域VC R3,连续向量场F=(P,Q,R)：V→R3.又设S C V 是一片有向光滑曲面,其参数方程为 π=r(u,u), (u,u) E D,并且参数增加的方向为S的方向协调，则有Pdy ^ dz + Qdz ^ dc + Rda ^ dy :F.ndsSa(a,y)a(z, α)o(y, z)dudv.H(u,)a(u, v)a(u, v)记w=Pdy^dz+ Qdz^da + Rdc ^dy,它是定义在V上的一个二次微分形式。上面的积分可以写成a(c,y)o(z, α)o(y, z)0m,w=P dudv. (11.2)Ro(u, v)a(u, v))a(u,v)返回全屏关闭退出2/14
n/ n / Stokes úª T©/ª 2. k« V ⊂ R3 , ëYþ| F~ = (P, Q, R) : V → R3 . q S ⊂ V ´¡k1w¡, Ùëê§ ~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ D, ¿ ë êO\ S N, Kk ☎ S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ☎ S F~ · ~ndS = ☎ D P ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ∂(z, x) ∂(u, v) + R ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. P ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, §´½Â3 V þg©/ª. þ¡È©±¤ ✂ S ω = ☎ D P ◦ ~r ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ◦ ~r ∂(z, x) ∂(u, v) + R ◦ ~r ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. (11.2) 2/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式3.设有区域VCR,连续函数P：V→R3.又设aCV是V中有向立体（体表面法向朝外），其参数方程为r= r(u,v,w), (u, ,w) E D,并且参数增加的方向与的方向协调，则有o(α, y, z)Pda ^ dy ^ dz =dudvdw.a(u, v, w)J2D记w = Pdc ^dy ^dz,它是定义在V上的一个三次微分形式，上面的积分可以写成o(α, y, z)(11.3)dudvdw.(u, v, w)2D返回全屏关闭退出I3/14
n/ n / Stokes úª T©/ª 3. k« V ⊂ R3 , ëY¼ê P : V → R3 . q Ω ⊂ V ´ V ¥k áN (NL¡{ ), Ùëê§ ~r = ~r(u, v, w), (u, v, w) ∈ D, ¿ ëêO\ Ω N, Kk ✝ Ω P dx ∧ dy ∧ dz = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. P ω = P dx ∧ dy ∧ dz, §´½Â3 V þng©/ª. þ¡È©±¤ ✂ Ω ω = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. (11.3) 3/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式11.7.2n维空间微分形式的积分在 n 维空间 Rn 中, 记向量 a =(ac1, ac2,·,an),称(11.4)ai..,p(a)daiΛ...Λdaipi1,-,ip为一个p次微分形式,ail.…i(α)是n元函数,标号 i,·,ip中的每一个都独立地从1取到n.上式可以简记为a(a)da1,(11.5)T这里I =(i,···，ip)它的每个分量从1 取到 n.约定dai ^ da, = -da, ^ dai(11.6)dci ^dai = 0.返回全屏关闭退出I4/14
n/ n / Stokes úª T©/ª 11.7.2 n m©/ªÈ© 3 n m Rn ¥, Pþ x = (x1, x2, · · · , xn), ¡ X i1,··· ,ip ai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.4) p g©/ª, ai1,··· ,ip (x) ´ n ¼ê, IÒ i1, · · · , ip ¥zÑ Õá/l 1 n. þª±{P X I aI(x)dxI, (11.5) ùp I = (i1, · · · , ip) §z©þl 1 n. ½ dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi dxi ∧ dxi = 0. (11.6) 4/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式因此，（1）可以写成w=aii,(a)dainA..Λdaip(11.7)这里的求和是对一切适合条件1≤i<i<···<ip≤n的指标进行设Rn中的p维曲面S有参数表示i = i(ui, ...,up)d:人·Cn = n(ui,·, up)其中 u=(ui,·,up)E E C RP,E 称为 S 的参数域,并且ci = ci(ui,.,up) (i= l, .,n)有一阶连续偏导数.所以S就是从ECRP→Rn的CI向量值函数返回全屏关闭退出-5/14
n/ n / Stokes úª T©/ª Ïd, (1) ±¤ ω = Xai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.7) ùp¦Ú´é·Ü^ 1 6 i1 < i2 < · · · < ip 6 n I?1. Rn ¥ p ¡ S këêL« Φ : x1 = x1(u1, · · · , up) · · · · · · xn = xn(u1, · · · , up) Ù¥ u = (u1, · · · , up) ∈ E ⊂ Rp , E ¡ S ëê, ¿ xi = xi(u1, · · · , up) (i = 1, · · · , n) k ëY ê. ¤± S Ò´l E ⊂ Rp → Rn C1 þ¼ê. 5/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ