三角多项式几个推论范数和距离平方平均收敛Bessel不等式12.1.5Bessel 不等式与平方平均收敛设 C[一元,元] 是[一元,元] 上连续函数全体.对于 f E C[一元,元],令Ilfllo = max If(α).TS易知 If]lo 是 C[一π,π] 上一个范数(模), 即(正性)1°flo≥ 0, 且 flo = 0f = 0;(齐性)2°对于正数 入有 入fo=入lfIlo3°(三角不等式)对于 f, g E C[一π, 元], 有 Ilf + gllo ≤ IlfIlo + Ilgllo;C[一元，元]上的这个范数可以诱导出一个距离，即d(f,g) = llf - gllo(正性)1°d(f,g) ≥ 0, 且 d(f,g) = 0 ←→ f = g;2°(对称性)d(f, g) = d(g, f);30对于 f,g, h E C[一π, π],有 d(f,g) ≤ d(f, h) + d(h,g); (三角不等式)I-I返回全屏关闭退出1/17
êÚål ²²þÂñ nõª Bessel Ø ª AíØ 12.1.5 Bessel Ø ª²²þÂñ C[−π, π] ´ [−π, π] þëY¼ê N. éu f ∈ C[−π, π], - kfk0 = max −π6x6π |f(x)|. ´ kfk0 ´ C[−π, π] þê( ), = 1 ◦ kfk0 > 0, kfk0 = 0 ⇐⇒ f = 0; (5) 2 ◦ éuê λ k kλfk0 = λkfk0; (à5) 3 ◦ éu f, g ∈ C[−π, π], k kf + gk0 6 kfk0 + kgk0; (nØ ª) C[−π, π] þùê±pÑål, = d(f, g) = kf − gk0 1 ◦ d(f, g) > 0, d(f, g) = 0 ⇐⇒ f = g; (5) 2 ◦ d(f, g) = d(g, f); (é¡5) 3 ◦ éu f, g, h ∈ C[−π, π], k d(f, g) 6 d(f, h) + d(h, g); (nØ ª) 1/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
范数和距离平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论当f(一元）=f(元)且f 在[一元,元]上连续且分段光滑时,由Dirichlet定理知 f 的 Fourier 级数在[一π,元] 上一致收敛于 f(αc),即(1)lim ITn(α) 一 f(α)Ilo = 0,0这里naoZ(2)Tn(α)akcoska + bksinka2k=1是f(α)的Fourier级数前n项部分和一般称形如+>(3)Sn(α) =akcoska+βisinkack=1的函数为n次三角多项式，（1）式表示连续且分段光滑的函数可由三角多项式一致逼近返回全屏关闭退出I42/17
êÚål ²²þÂñ nõª Bessel Ø ª AíØ f(−π) = f(π) f 3 [−π, π] þëY ©ã1w, d Dirichlet ½ n f Fourier ?ê3 [−π, π] þÂñu f(x), = lim n→∞ kTn(x) − f(x)k0 = 0, (1) ùp Tn(x) = a0 2 + X n k=1 ak cos kx + bk sin kx (2) ´ f(x) Fourier ?êc n Ü©Ú. ¡/X Sn(x) = α0 2 + X n k=1 αk cos kx + βk sin kx (3) ¼ê n gnõª, (1) ªL«ëY ©ã1w¼êdnõ ª%C. 2/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
范数和距离平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论设 L[一π,元] 是[一π,元]上可积且平方可积的函数全体（即,对于 f EL[一π,元],若f(α)有界,则f ER[一元,元]. 若 f(α)无界,则f 和 f2 都广义可积).对于 f, g E L2[一元,元], 令<f,g) = f(α)g(α) dc.T则《f,9)是L[一元,元]上一个内积,令Ilf - gll = V(f - g, f -g).可以验证 f一gl 是 L[一元,元] 上一个距离问题1 对于f EL2[一元,元]是否存在一列三角多项式 Sn(α)使得(4)lim IISn(α) - f(αc)Il = 0n0返回全屏关闭退出I-3/17
êÚål ²²þÂñ nõª Bessel Ø ª AíØ L2 [−π, π] ´ [−π, π] þÈ ²È¼ê N (=, éu f ∈ L2 [−π, π], e f(x) k., K f ∈ R[−π, π]. e f(x) Ã., K f Ú f 2 Ñ2 È). éu f, g ∈ L2 [−π, π], - hf, gi = 1 π Z π −π f(x)g(x) dx. K hf, gi ´ L2 [−π, π] þSÈ, - kf − gk = p hf − g, f − gi. ±y kf − gk ´ L2 [−π, π] þål. ¯K 1 éu f ∈ L2 [−π, π] ´Ä3nõª Sn(x) ¦ lim n→∞ kSn(x) − f(x)k = 0. (4) 3/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
范数和距离三角多项式几个推论平方平均收敛Bessel不等式(4) 式也可以写为(Sn(a) - f(a)" da = 0.lim(5)nT若 (5)成立,则称三角多项式列[Sn(α))平方平均收敛于 f(αc).设 f E L?[一π, π], Sn(α) 是由 (3) 式表示的 n 次三角多项式1(Sn(a) - f(α))"da = (Sn(a) - f(α), Sn(c) - f(α))An : =元= (f, f) - 2(f, Sn) + (Sn, Sn).设 ao, ai,·.·,及 bi, b2,··，是 f(a)的 Fourier 系数.则o (ak cos ka + βr sin ka+f.(f, Sn) =k=2aoao(akak + βbk).2k=1返回全屏关闭退出4/17
êÚål ²²þÂñ nõª Bessel Ø ª AíØ (4) ª± lim n→∞ 1 π Z π −π Sn(x) − f(x) 2 dx = 0. (5) e (5) ¤á, K¡nõª {Sn(x)} ²²þÂñu f(x). f ∈ L2 [−π, π], Sn(x) ´d (3) ªL« n gnõª. ∆n : = 1 π Z π −π Sn(x) − f(x) 2 dx = hSn(x) − f(x), Sn(x) − f(x)i = hf, fi − 2hf, Sni + hSn, Sni. a0, a1, · · · , 9 b1, b2, · · · , ´ f(x) Fourier Xê. K hf, Sni = * f, α0 2 + X n k=1 αk cos kx + βk sin kx + = α0a0 2 + X n k=1 αkak + βkbk . 4/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
三角多项式几个推论范数和距离平方平均收敛Bessel不等式再根据三角函数系的正交性，有2aoQo+ak coska + Bu sin ka>ak cos ka + βu sin ka(Sn,Sn)+2k=1k=na≥(ai + 院).+2k=1于是2a+Z(%+ 阳)An = (f, f) - Qoao - 2 (akak + βBibk)+2k=1k=17(αo - ao)2 [(αk - ar) + (βk - br)]十=<f, f) +2k=1a-Z(α +b)(6)2k=1a?11x(7)7f2(α) da.22元k=返回全屏关闭退出1I5/17
êÚål ²²þÂñ nõª Bessel Ø ª AíØ 2ân¼êX5, k hSn, Sni = * α0 2 + X n k=1 αk cos kx + βk sin kx , α0 2 + X n k=1 αk cos kx + βk sin kx + = α2 0 2 + X n k=1 α 2 k + β 2 k . u´ ∆n = hf, fi − α0a0 − 2 X n k=1 αkak + βkbk + α2 0 2 + X n k=1 α 2 k + β 2 k = hf, fi + (α0 − a0) 2 2 + X n k=1 (αk − ak) 2 + (βk − bk) 2 − a 2 0 2 − X n k=1 a 2 k + b 2 k (6) > 1 π Z π −π f 2 (x) dx − a 2 0 2 + X n k=1 a 2 k + b 2 k ! . (7) 5/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ