f(y)F(对每个分量都是右连续的,即 F(x,y+0)=F(x,y); 冷(V)对任意的实数x1≤x2,y≤y2,有 F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0 令性质(i)、(ⅱ)的证明是显然的,性质(ⅴ)可由概 率的定义和性质直接得到,而性质(ⅲi)、(iv)的证 明从略. 可以证明,若某二元函数F(x,y)满足上述的五个性 质,则必存在二维随机变量(X,Y以F(x,y)为其分 布函数 11
11 ❖ (ⅳ)F(x,y)对每个分量都是右连续的，即 F(x+0,y)=F(x,y)， F(x,y +0)=F(x,y)； ❖ (ⅴ)对任意的实数x1≤x2，y1≤y2，有 F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0. ❖ 性质(ⅰ)、(ⅱ)的证明是显然的，性质(ⅴ)可由概 率的定义和性质直接得到，而性质(ⅲ)、(ⅳ)的证 明从略. ❖ 可以证明，若某二元函数F(x,y)满足上述的五个性 质，则必存在二维随机变量(X,Y)以F(x,y)为其分 布函数
如果组迹机变量(的分函数F为号知 X 可由F(x,y)求得 事实上,直观地看(不严格证明) Fx(x)=P(K≤x)=P(X≤x,K+)=F(x,+) 其中 F(x,+∞)=limF(x,y) 12
12 ❖ 如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)为已知， 那么随机变量X与Y的分布函数FX(x)和FY(y)，分别 可由F(x,y)求得. ❖ 事实上，直观地看(不严格证明) FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞) ❖ 其中 F(x, ) lim F(x, y) y→+ + =
同理可得 Fy(y)=P(K≤y)=P(X<+∞,F≤y)=F(+,y) 其中 F(+∞,y)=limF(x,y) 冷人们称Fx(x)和Fy(y)为分布函数F(x,y)的边缘分布 函数,或二维随机变量(X,Y关于X和Y的边缘分布 函数( marginal distribution) 13
13 ❖ 同理可得 FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞ ,Y≤y)=F(+∞ ,y) ❖ 其中 F( , y) lim F(x, y) x→+ + = ❖ 人们称FX(x)和FY(y)为分布函数F(x,y)的边缘分布 函数，或二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布 函数(marginal distribution)
令例1设二维随机变量(X,Y的分布函数 C -2x +e(-2 x3y),x>0,y>0, 0 其它. 令求(1)常数C; (2)P(0<X≤1,0<Y≤1) 冷(3)Fx(x)和Fyy)? 解(1)由1=F(+∞,+∞)=C-0-0+0=C,得 14
14 ❖ 例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 − − + = − − − − 0, . , 0, 0, ( , ) 2 3 ( 2 3 ) 其它 C e e e x y F x y x y x y ❖ 求(1)常数C； ❖ (2) P(0<X≤1,0<Y≤1)； ❖ (3)FX(x)和FY(y)？ ❖ 解 (1)由1=F(+∞ ,+∞)=C−0−0+0=C，得 C=1
令例1设二维随机变量(X,Y的分布函数 C -2x e 'te (-2 x3y),x>0,y>0, 0 其它. (2)P(0<X≤1,0<F≤1); P(0<X≤1,0<Y≤1 =F(1,1)-F(1,0)-F(O,1)+F(0,0) 15
15 ❖ 例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 − − + = − − − − 0, . , 0, 0, ( , ) 2 3 ( 2 3 ) 其它 C e e e x y F x y x y x y ❖ (2) P(0<X≤1,0<Y≤1)； (0 1, 0 1) (1,1) (1, 0) (0,1) (0, 0) P X Y F F F F = − − +