3°A、B不乱。设a∈A,b∈B。因a不是E的上界,丑x∈E,使得a<x,而 E内每一元素属于A,所以a<x<b。 4°由3°的证明可见A无最大数 所以(A|B)是实数的一个分划。由戴德金定理,知上类B必有最小数,记作C Vx∈E,由1°知x∈A,即得x<c。这表明c是E的一个上界。若b是E的一个上 界,则b∈B,由此得c≤b,所以c是上界中最小的,由上确界定义,c为集合E的上确 界,记作c=spE。 推论非空的有下界的集合必有下确界 事实上,设集合E={x}有下界b,则非空集合E'={x|-x∈E}有上界-b,利用集 合E'上确界的存在性,即可得出集合E的下确界存在。 由第二章知道,若集合E无上界,记作spE=+∞;若集合E无下界,记作 nfE=+∞,这样一来,第二章证明了的单调上升(下降)有上界(下界)的序列{xn}, 必有极限 sup x( (inf x)的定理现在有了严格的理论基础了。且对单调上升(下降)序列 {xn},总有 sup x,(inf xn) 定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得 出我们所研究的某一类量(如弧长)的存在性。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的。定理1刻划 了实数集是完备的 例1证明实数空间满足阿基米德原理。 证明Vb>a>0,要证存在自然数n使n>b。假设结论不成立,即 m≤b (n=1,2,A), 则数集E={na}有上界b,因此有上确界c,使ma≤c(n=1,2,A),也就有(n+1)a≤c (n=1,2,A),或ma≤c-a(n=1,2,A)。这表明c-a是集合E的上界,与c是上 确界矛盾。所以总存在自然数n,使n>b 例21)证明序列x=1++-+A+--hn的极限存在 2)求极限im[1-+-A+(-1)m-]。 解1)因x>-1时有
29 o 3 A 、B 不乱。设a Î A，bÎ B 。因a 不是 E 的上界，$x Î E ，使得a < x ，而 E 内每一元素属于 A ，所以a < x < b 。 o 4 由 o 3 的证明可见 A 无最大数。 所以(A | B) 是实数的一个分划。由戴德金定理，知上类 B 必有最小数，记作c 。 "x Î E ，由 o 1 知 x Î A，即得 x < c 。这表明c 是 E 的一个上界。若 b 是 E 的一个上 界，则bÎ B ，由此得 c £ b ，所以c 是上界中最小的，由上确界定义， c 为集合 E 的上确 界，记作 c = sup E 。 推论 非空的有下界的集合必有下确界。 事实上，设集合 E = {x} 有下界 b ，则非空集合 E'= {x | -x Î E}有上界 - b ，利用集 合 E'上确界的存在性，即可得出集合 E 的下确界存在。 由第二章知道，若集合 E 无上界，记作 sup E = +¥ ；若集合 E 无下界，记作 inf E = +¥ ，这样一来，第二章证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列{ }n x ， 必有极限 sup (inf ) n x N n x N x x Î Î 的定理现在有了严格的理论基础了。且对单调上升（下降）序列 { }n x ，总有 lim sup (inf ) n x N n x N n n x x x Î Î ®+¥ = 。 定理 1 解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得 出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理 1 刻划 了实数集是完备的。 例1 证明实数空间满足阿基米德原理。 证明 "b > a > 0 ，要证存在自然数n 使na > b 。假设结论不成立，即 na £ b， (n = 1，2，L ）， 则数集 E = {na}有上界b ，因此有上确界c ，使 na £ c (n = 1，2，L ），也就有 (n + 1)a £ c (n = 1，2，L ），或 na £ c - a (n = 1，2，L ）。这表明 c - a 是集合 E 的上界，与 c 是上 确界矛盾。所以总存在自然数n ，使na > b 。 例2 1）证明序列 n n xn ln 1 3 1 2 1 = 1+ + +L + - 的极限存在； 2）求极限 ] 1 ( 1) 3 1 2 1 lim [1 1 n n n - ®¥ - + -L + - 。 解 1） 因x > -1时有
ln(1+x)<x(x≠0) 所以 <ln(1+-)< (k=1,2,A) 即有xn=∑-hn>∑h(1+1)-hn=ln(n+1-hn>0 这表明序列{xn}有下界。又 In( n+1)-In n >0 nn+ 故序列{xn}下降。因此序列极限存在,记极限值为c。于是 In n=c+ ∑ 2)因 sIn 2+ uc+In( 2n)+E2m-[c+Inn+E, 所以m(=)1 k=h2,又lin 即得 In 2 k 2.4.2区间套定理 定理2设[an,bn]是一串闭区间,满足 (1)对任何自然数n,都有an≤an1<bn≤bn,即[an1:bn]∈[an,bn]。 (2)当n→+∞时,区间[an,bn]长度趋于0,即m(bn-an)=0 则有man=c=imbn,且c是一切区间的唯一公共点:I[anbn]={e}。 月→,+① 证明由假设(1)知,序列{an}单调上升,有上界b1;序列{bn}单调下降,有下界a 因而有
30 x x x x < + < + ln(1 ) 1 ( x ¹ 0) ， 所以 k k k 1 ) 1 ln(1 1 1 < + < + (k = 1，2，L ）， 即有 å å = = = - > + - = + - > n k n k n n n n k n k x 1 1 ) ln ln( 1) ln 0 1 ln ln(1 1 。 这表明序列{ }n x 有下界。又 0 1 1 ) 1 ln(1 1 1 ln( 1) ln 1 > + = + - + - + = + - - n n n x x n n n n ， 故序列{ }n x 下降。因此序列极限存在，记极限值为c 。于是 å= - = + n k n c n 1 k ln 1 e ， 或 å= = + + n k c n n 1 k ln 1 e ( lim = 0) ®+¥ n n e 。 2） 因 n n n n n k n k n k k c n c n k k k e e e e = + - = - = + + - + + - å å å = = = - 2 2 1 2 1 2 1 1 ln 2 ln( 2 ) [ ln ] 2 1 2 ( 1) 1 所以 ln 2 ( 1) lim 2 1 1 = - å= - ®+¥ n k k n k ， 又 ln 2 ( 1) lim 2 1 1 1 = - å + = - ®+¥ n k k n k ， 即得 ln 2 ( 1) lim 1 1 = - å= - ®+¥ n k k n k 。 2.4.2 区间套定理 定理 2 设[ , ] an bn 是一串闭区间，满足： （1） 对任何自然数n ，都有an £ an+1 < bn+1 £ bn，即 [ , ] [ , ] an+1 bn+1 Ì an bn 。 （2） 当n ® +¥ 时，区间[ , ] an bn 长度趋于0 ，即 lim ( - ) = 0 ®+¥ n n n b a 。 则有 n n n n a c b ®+¥ ®+¥ lim = = lim ，且c 是一切区间的唯一公共点： [ , ] 1 n n n a b +¥ = I = {c} 。 证明 由假设（1）知，序列{ } an 单调上升，有上界b1；序列{ } bn 单调下降，有下界a1。 因而有