§5.1向量的内积、长度及 正交性 内积的定义及性质 向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及其求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结
§5.1 向量的内积、长度及 正交性 • 一、内积的定义及性质 • 二、向量的长度及性质 • 三、正交向量组的概念及其求法 • 四、正交矩阵与正交变换 • 五、小结
一、内积的定义及性质 定义1设有n维向量 n 令[x,y=x1y1+x2y2+…+ no c称[x,刀为向量x与y的内积 上页
定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1 = = n n y y y y x x x x n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质
说明 1(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义 2内积是向量的一种运算,如果x,p都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为: Lx,y=xy 上页
说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) , . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
内积的运算性质 (其中x,y,z为n维向量,为实数): ([E,y]=Lyx] (2)x,y=alx,y5 (3)[x+y,]=[x,z]+[y, (4)x,x≥0,且当x≠0时有[x,x>0. 上页
内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0
二、向量的长度及性质 上定义2令 x=√x,x」=√x2+x2+…+x2 c称x为n维向量x的长度(或范数) 向量的长度具有下述性质: 工工工 1非负性当x≠0时,x>0当x=0时,x=0; 2次性Ax=A|xi; 3三角不等式x+ysx+yl 上页
定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 , , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x 0时, x 0;当x = 0时, x = 0; x = x ; x + y x + y . 二、向量的长度及性质